(1) $x$軸と$y$軸の両方に接し、点$(2, 1)$を通る円の方程式を求める。 (2) 中心が直線$2x - y - 8 = 0$上にあり、2点$(0, 2), (-1, 1)$を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$軸と$y$軸の両方に接し、点$(2, 1)$を通る円の方程式を求める。

(2) 中心が直線$2x - y - 8 = 0$上にあり、2点$(0, 2), (-1, 1)$を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心は$(r, r)$または$(r, -r)$または$(-r, r)$または$(-r, -r)$ (ただし，$r>0$) の形をしている。点$(2, 1)$を通るので、中心は第1象限にあるから、円の中心は$(r, r)$とおける。半径も$r$となるので、円の方程式は

$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$

と表せる。この円が点$(2, 1)$を通るので、

$(2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

$r = 1, 5$

したがって、円の方程式は

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$

$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(2) 円の中心の座標を$(x, y)$とおくと、中心は直線$2x - y - 8 = 0$上にあるので、

$2x - y - 8 = 0$

$y = 2x - 8$

円の中心の座標を$(x, 2x-8)$とおく。

円の半径を$r$とすると、円の方程式は

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

なので、

$(x-x)^2 + (y-(2x-8))^2 = r^2$

円は2点$(0, 2)$と$(-1, 1)$を通るので、

$(0-x)^2 + (2-(2x-8))^2 = r^2$

$x^2 + (10-2x)^2 = r^2$

$x^2 + 100 - 40x + 4x^2 = r^2$

$5x^2 - 40x + 100 = r^2$

$(-1-x)^2 + (1-(2x-8))^2 = r^2$

$(x+1)^2 + (9-2x)^2 = r^2$

$x^2 + 2x + 1 + 81 - 36x + 4x^2 = r^2$

$5x^2 - 34x + 82 = r^2$

$5x^2 - 40x + 100 = 5x^2 - 34x + 82$

$-40x + 100 = -34x + 82$

$18 = 6x$

$x = 3$

$y = 2x - 8 = 2*3 - 8 = -2$

円の中心は$(3, -2)$

$r^2 = 5(3^2) - 40(3) + 100 = 45 - 120 + 100 = 25$

円の方程式は

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$、$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(2) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$