3点 A(-4, 3), B(-1, 2), C(3, -1) が与えられています。点Aと直線BCの距離を求め、さらに三角形ABCの面積を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(-4, 3), B(-1, 2), C(3, -1) が与えられています。点Aと直線BCの距離を求め、さらに三角形ABCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線BCの方程式を求める。

B(-1, 2), C(3, -1)を通る直線の傾きは、

$m = \frac{-1 - 2}{3 - (-1)} = \frac{-3}{4}$

よって、直線BCの方程式は、

$y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{3}{4}(x + 1)$

$4(y - 2) = -3(x + 1)$

$4y - 8 = -3x - 3$

$3x + 4y - 5 = 0$

(2) 点A(-4, 3)と直線BC $3x + 4y - 5 = 0$の距離を求める。

点(x1, y1)と直線ax + by + c = 0の距離dは、

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

である。

点A(-4, 3)と直線BC $3x + 4y - 5 = 0$の距離dは、

$d = \frac{|3(-4) + 4(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-12 + 12 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-5|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

(3) 三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積を求める公式として、ヘロンの公式、または座標を用いた公式が使用できます。ここでは座標を用いた公式を使用します。

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

$S = \frac{1}{2} |(-4)(2 - (-1)) + (-1)(-1 - 3) + (3)(3 - 2)|$

$S = \frac{1}{2} |(-4)(3) + (-1)(-4) + (3)(1)|$

$S = \frac{1}{2} |-12 + 4 + 3| = \frac{1}{2} |-5| = \frac{5}{2}$

または、点Aと直線BCの距離を高さとして、BCの長さを底辺として三角形の面積を求めることもできます。

BCの長さは、$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times d = \frac{1}{2} \times 5 \times 1 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

点Aと直線BCの距離：1

三角形ABCの面積：$\frac{5}{2}$