三角形 $ABC$ があり、$AB = \sqrt{6}$, $\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$ である。点 $A$ を通り直線 $BC$ に垂直な直線と直線 $BC$ との交点を $H$ とする。また、三角形 $ACH$ の外接円と直線 $AB$ との交点のうち、$A$ でないものを $K$ とする。$AH$, $BC$, $AC$, $\angle AKC$, $HK$, $AK$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

三角形 $ABC$ があり、$AB = \sqrt{6}$, $\angle BAC = 75^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$ である。点 $A$ を通り直線 $BC$ に垂直な直線と直線 $BC$ との交点を $H$ とする。また、三角形 $ACH$ の外接円と直線 $AB$ との交点のうち、$A$ でないものを $K$ とする。$AH$, $BC$, $AC$, $\angle AKC$, $HK$, $AK$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle ACB = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 60^\circ$.

三角形 $ABH$ において、$\angle AHB = 90^\circ$ なので、$\angle BAH = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ$.

したがって、三角形 $ABH$ は直角二等辺三角形。

$AH = BH$

$AB = \sqrt{6}$より、$AH = BH = \sqrt{6}/\sqrt{2} = \sqrt{3}$.

(解答13: イ)

三角形 $AHC$ において、$\angle AHC = 90^\circ$ なので、$\angle HAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

$HC = AH \tan 30^\circ = \sqrt{3}/\sqrt{3} = 1$.

したがって、$BC = BH + HC = \sqrt{3} + 1$.

(解答14: イ)

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$

$\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$AC = \frac{\sqrt{6} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} / (1/\sqrt{2})} = 2$

$AC = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 2$.

(解答15: イ)

(2)

四角形 $AKCH$ は円に内接するので、$\angle AKC = 180^\circ - \angle AHC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

(解答16: ウ)

方べきの定理より、$BH \cdot HC = KH \cdot HA$

$\sqrt{3} \cdot 1 = KH \cdot \sqrt{3}$

$KH = 1$

(解答17: ア)

$AK = AB - KB$.

$\angle KCA = \angle KHA= \angle KAC = 30^\circ$.

$KB = BC = 1+\sqrt{3}$

$AK = AB - KB = 1 + \sqrt{3}$

したがって、$\angle KAC = \angle KCA = 30^\circ$.

$\angle AKC = 90^\circ$

$\angle KAC= \angle HAC=30^\circ$.

$AK \cdot AB = AH \cdot AH$

$AH \cdot AB = AK \cdot AC$.

$KB \cdot KA = KH \cdot KH$,

よって、$AK = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

$AK*KB = HK * KC$.

$AH^2=AK*AB$

$3 = AK*\sqrt(6)$.

なので$AK = \sqrt(6)/2 = \sqrt6 / \sqrt2 = \sqrt(3/2) = (\sqrt6)/2$.

3. 最終的な答え

13: イ

14: イ

15: イ

16: ウ

17: ア

18: エ