三角形ABCにおいて、AB = $\sqrt{6}$, ∠BAC = 75°, ∠ABC = 45°である。点Aから直線BCに下ろした垂線の足をHとする。三角形ACHの外接円と直線ABの交点のうち、Aでない点をKとする。AH, BC, ACの長さ、∠AKC, HK, AKの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = $\sqrt{6}$, ∠BAC = 75°, ∠ABC = 45°である。点Aから直線BCに下ろした垂線の足をHとする。三角形ACHの外接円と直線ABの交点のうち、Aでない点をKとする。AH, BC, ACの長さ、∠AKC, HK, AKの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形ABCの角度を求める。∠ACB = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - (75° + 45°) = 60°。

三角形ABHにおいて、∠AHB = 90°、∠ABH = 45°なので、∠BAH = 45°。つまり、三角形ABHは直角二等辺三角形。

したがって、AH = BH。AB = $\sqrt{6}$であるから、AH = BH = $\sqrt{6}/\sqrt{2}$ = $\sqrt{3}$。よって、13の答えはイ。

正弦定理より、$BC/\sin(\angle BAC) = AB/\sin(\angle ACB)$なので、$BC/\sin(75^\circ) = \sqrt{6}/\sin(60^\circ)$。$\sin(75^\circ) = (\sqrt{6}+\sqrt{2})/4$, $\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$なので、$BC = \sqrt{6}(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4 / (\sqrt{3}/2) = \sqrt{6}(\sqrt{6}+\sqrt{2})/ (2\sqrt{3}) = (6+\sqrt{12})/(2\sqrt{3}) = (6+2\sqrt{3})/(2\sqrt{3}) = \sqrt{3}+1$。よって、14の答えはイ。

三角形ACHにおいて、∠AHC = 90°、∠ACH = 60°なので、∠CAH = 30°。AH = $\sqrt{3}$なので、AC = AH / $\sin(60^\circ)$ = $\sqrt{3} / (\sqrt{3}/2) = 2$。よって、15の答えはイ。

(2)

四角形ACHKは円に内接するので、∠AKC = 180° - ∠AHC = 180° - 90° = 90°。よって、16の答えはウ。

方べきの定理より、BH * BC = BK * BA。BH = $\sqrt{3}$, BC = $1+\sqrt{3}$, BA = $\sqrt{6}$なので、$\sqrt{3}(1+\sqrt{3}) = BK\sqrt{6}$。$BK = (\sqrt{3}+3)/\sqrt{6} = (\sqrt{18}+3\sqrt{6})/6 = (3\sqrt{2}+3\sqrt{6})/6 = (\sqrt{2}+\sqrt{6})/2$。

AK = $\sqrt{6}$ - BK = $\sqrt{6} - (\sqrt{2}+\sqrt{6})/2 = (\sqrt{6}-\sqrt{2})/2$。

三角形AHKと三角形BCKが相似なので、HK/CK = AH/BC。円周角の定理より∠ACK = ∠AHK = 30°。よって、三角形ACKは二等辺三角形となり、AK = CK = $(\sqrt{6}-\sqrt{2})/2$。

$\frac{HK}{AK} = \frac{AH}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。よって$HK = AK * \frac{\sqrt{3}}{2} = (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}) * \frac{\sqrt{3}}{2} = (\sqrt{18}-\sqrt{6})/4 = (3\sqrt{2}-\sqrt{6})/4$.

$AK=BK-AB = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。

HK = $\sqrt{2}-1$。よって、17の答えはイ。

AK = $(\sqrt{6}-\sqrt{2})/2$。よって、18の答えはウ。

3. 最終的な答え

13: イ

14: イ

15: イ

16: ウ

17: イ

18: ウ