空間内に点O(0,0,0), A(1,-1,2), B(1,1,2), C(-1,2,0)がある。点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線の足Hの座標を求める。

1. 問題の内容

空間内に点O(0,0,0), A(1,-1,2), B(1,1,2), C(-1,2,0)がある。点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線の足Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、平面ABCの法線ベクトルを求める。これは、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の外積として計算できる。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1, 1, 2) - (1, -1, 2) = (0, 2, 0)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (-1, 2, 0) - (1, -1, 2) = (-2, 3, -2)$

法線ベクトル $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 3, 0 \cdot (-2) - 0 \cdot (-2), 0 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)) = (-4, 0, 4)$

法線ベクトルは任意の定数倍しても良いので、$\vec{n} = (-1, 0, 1)$とする。

次に、平面ABCの方程式を求める。これは、$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{OA}) = 0$で与えられる。ここで$\vec{x} = (x, y, z)$である。

よって、$-1(x - 1) + 0(y + 1) + 1(z - 2) = 0$

$-x + 1 + z - 2 = 0$

$-x + z - 1 = 0$

$x - z + 1 = 0$

点Hは平面ABC上にあるので、座標を$(x, y, z)$とすると、$x - z + 1 = 0$を満たす。

また、$\vec{OH}$は法線ベクトル$\vec{n}$と平行であるため、$\vec{OH} = k \vec{n}$と表せる。ここで、$k$は実数である。

$\vec{OH} = (x, y, z) = k(-1, 0, 1) = (-k, 0, k)$

よって、$x = -k$, $y = 0$, $z = k$となる。

これを平面ABCの方程式に代入する。

$(-k) - (k) + 1 = 0$

$-2k + 1 = 0$

$2k = 1$

$k = \frac{1}{2}$

したがって、点Hの座標は$x = -\frac{1}{2}$, $y = 0$, $z = \frac{1}{2}$となる。

3. 最終的な答え

Hの座標は $(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$