三角形ABCにおいて、$AB=6$cm, $BC=9$cm, $AC=10$cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線BIと辺ACの交点をPとするとき、$BI:IP$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$cm, $BC=9$cm, $AC=10$cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線BIと辺ACの交点をPとするとき、$BI:IP$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用して、AP:PCを求める。

角Bの二等分線がACと交わる点をPとすると、$AP:PC = AB:BC$が成り立つ。

$AP:PC = 6:9 = 2:3$

$AP = \frac{2}{2+3}AC = \frac{2}{5} \times 10 = 4$

次に、三角形ABIと三角形CPIにおいて、角の二等分線定理を用いる。BIは角ABCの二等分線であり、AIは角BACの二等分線である。

内心Iは、三角形の3つの角の二等分線の交点であるため、AIも角Aの二等分線であり、CIも角Cの二等分線である。

三角形ABIとCPIに着目すると、角AIPと角BICは対頂角として等しい。

また、角BAIは角CAIと等しい。

角の二等分線の定理により、三角形ABCにおいて、BIは角Bの二等分線であるから、

$AI:IC = \frac{AB+BC}{AC} = \frac{6+9}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

角の二等分線の性質から、AI:IC=AP:PCが成り立つ。

角の二等分線の定理から、

$\frac{BI}{IP}=\frac{AB+BC}{AC}=\frac{6+9}{AP+PC} = \frac{BA+BC}{AC}$

三角形ABCの内角の二等分線の交点Iから、BI:IPの比は、三角形ABCの辺の長さを用いて表される。

角Bの二等分線に関して、次の公式が成り立つ。

$BI : IP = (AB + BC) : AC$

したがって、

$BI : IP = (6 + 9) : 10 = 15 : 10 = 3 : 2$

3. 最終的な答え

$BI:IP = 3:2$