3辺の長さが $x$, $x+3$, $3x$ である三角形が存在するための $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3辺の長さが $x$, $x+3$, $3x$ である三角形が存在するための $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

三角形の成立条件は、任意の2辺の和が残りの1辺より大きいことです。したがって、以下の3つの不等式が成立する必要があります。

1. $x + (x+3) > 3x$

2. $x + 3x > x+3$

3. $(x+3) + 3x > x$

これらの不等式をそれぞれ解きます。

まず、1番目の不等式は、

$x + x + 3 > 3x$

$2x + 3 > 3x$

$3 > x$

つまり、

$x < 3$

次に、2番目の不等式は、

$x + 3x > x+3$

$4x > x+3$

$3x > 3$

$x > 1$

最後に、3番目の不等式は、

$x + 3 + 3x > x$

$4x + 3 > x$

$3x > -3$

$x > -1$

辺の長さは正である必要があるため、$x > 0$, $x+3 > 0$, $3x > 0$ を満たす必要があります。

$x > 0$ なので、$x > -1$ は自動的に満たされます。

したがって、$x > 0$ の条件に加えて、$x<3$ と $x>1$ の条件を満たす必要があります。

$1 < x < 3$ が求める $x$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$1 < x < 3$