三角形ABCにおいて、$AB=3$ cm, $BC=9$ cm, $AC=8$ cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線BIと辺ACの交点をPとするとき、$BI:IP$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$ cm, $BC=9$ cm, $AC=8$ cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線BIと辺ACの交点をPとするとき、$BI:IP$を求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してAP:PCを求める。

$AP:PC = AB:BC = 3:9 = 1:3$

$AP = \frac{1}{1+3}AC = \frac{1}{4} \times 8 = 2$ cm

次に、メネラウスの定理を用いてBI:IPを求める。

三角形APCと直線BIについてメネラウスの定理より、

$\frac{AB}{BC} \times \frac{CI}{IP} \times \frac{PB}{BA} = 1$

角の二等分線の定理より、

$\frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

したがって、$AP=2$、$PC=6$となる。

次に、メネラウスの定理を三角形APCと直線BIに適用する。

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{AI}{IP} = 1$

$\frac{AI}{IC}=\frac{AP}{PC} = \frac{1}{3}$なので、

メネラウスの定理を適用して、$\frac{AI}{IP} = \frac{AC+AB}{BC}=\frac{8+3}{9} = \frac{11}{9}$

$\triangle ABC$において、角Bの二等分線と辺ACとの交点がPであるから、角の二等分線の性質より、

$AP : PC = AB : BC = 3 : 9 = 1:3$

$AP = AC \times \frac{1}{1+3} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$

次に$\triangle ABP$において、内角の二等分線定理より

$\frac{BI}{IP} = \frac{AB + BP}{AP}$

内心Iは角の二等分線の交点なので、メネラウスの定理より

$\frac{AP}{PC} \times \frac{CB}{BA} \times \frac{AI}{IP} = 1$

$\frac{AB}{BC} = \frac{AP}{PC}$

$\frac{BI}{IP}=\frac{BA+BC}{AC}$

$=\frac{3+9}{8}$

$=\frac{12}{8}$

$=\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$BI:IP = 3:2$