三角形ABCにおいて、AB = 7cm, BC = 8cm, AC = 6cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をPとする時、CI : IPを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 7cm, BC = 8cm, AC = 6cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をPとする時、CI : IPを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を用いて、AP:PBを求めます。

角Cの二等分線が辺ABと交わる点をPとするとき、角の二等分線の性質より、

AP : PB = AC : BC

$AP : PB = 6 : 8 = 3 : 4$

したがって、AP = 3k, PB = 4k (k > 0)とおける。

AB = AP + PB = 3k + 4k = 7k

問題より、AB = 7cmなので、7k = 7となり、k = 1。

よって、AP = 3cm, PB = 4cm。

次に、チェバの定理を利用します。

三角形ABCにおいて、AP, BQ, CRが一点で交わるとき(今回は点I)、

(AP/PB) * (BQ/QC) * (CR/RA) = 1

内心Iは角の二等分線の交点なので、AI, BI, CIはそれぞれ角A, 角B, 角Cの二等分線である。

AP/PB = 3/4であることは既に求めている。

同様に、BQ/QC = BA/AC = 7/6

したがって、

(AP/PB) * (BQ/QC) * (CR/RA) = (3/4) * (7/6) * (CR/RA) = 1

(7/8) * (CR/RA) = 1

CR/RA = 8/7

ここで、CI : IPを求めるために、三角形CAPに直線BIに関してメネラウスの定理を適用する。

(AP/PB) * (BC/CI) * (IX/XA) = 1

メネラウスの定理より、

(AP/PB) * (BC/CI) * (IB/IA) = 1

(3/4) * (BC/CI) = BI/IA

三角形ABCにおいて、AIは角Aの二等分線であるから、

(CI/IP) = (CA + CB) / AB = (6+8) / 7 = 14/7 = 2

三角形ABCの内心Iについて、

AI : ID = (AB+AC) : BC

BI : IE = (BA+BC) : AC

CI : IF = (CA+CB) : AB

CI : IP = (AC + BC) / AB = (6 + 8) / 7 = 14/7 = 2

CI : IP = 2 : 1

3. 最終的な答え

CI : IP = 2 : 1