三角形ABCにおいて、AB=10cm, BC=12cm, AC=8cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をPとするとき、CI:IPを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=10cm, BC=12cm, AC=8cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をPとするとき、CI:IPを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してAP:PBを求める。次に、チェバの定理を利用してCI:IPを求める。

ステップ1: 角の二等分線の性質

角Cの二等分線CPが辺ABをPで分けるので、AP:PB = AC:BC。

$AP:PB = 8:12 = 2:3$

$AP = \frac{2}{2+3}AB = \frac{2}{5} \times 10 = 4$

$PB = \frac{3}{2+3}AB = \frac{3}{5} \times 10 = 6$

ステップ2: チェバの定理を使う準備

内心Iは角の二等分線の交点なので、A,Iを通る直線とBCとの交点をD、B,Iを通る直線とACとの交点をEとする。

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1$

ステップ3: BD:DCとCE:EAを求める

BD:DC = AB:AC = 10:8 = 5:4

CE:EA = BC:AB = 12:10 = 6:5

ステップ4: チェバの定理を適用

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = \frac{4}{6} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} = 1$

これは常に成り立つ。

ステップ5: メネラウスの定理を利用する

$\triangle ABP$と直線$CI$について、メネラウスの定理より

$\frac{AC}{CB} \times \frac{BI}{IE} \times \frac{EP}{PA} = 1$

ステップ6: 角の二等分線による線分比

$\triangle ABC$の内心$I$について、$AI:ID$, $BI:IE$, $CI:IF$を求める。

$AI:ID = (AB+AC):BC = (10+8):12 = 18:12 = 3:2$

$BI:IE = (BA+BC):AC = (10+12):8 = 22:8 = 11:4$

$CI:IP$を求めるために, $\triangle ABP$に直線$CI$を引いてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BC}{CI} \times \frac{IX}{XA}=1$

ステップ7: $\triangle ABC$ において、角Cの二等分線CPを考える

AP:PB = 8:12 = 2:3なので、AP = 4, PB = 6。

$\triangle ABP$に直線CIを適用して、メネラウスの定理

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BC}{CI} \times \frac{IY}{YA} = 1$

$\frac{4}{6} \times \frac{12}{CI} \times \frac{IY}{YA} = 1$

$CI:IP = ?$

ステップ8: Iが内心であることの利用

IからAB, BC, CAに下ろした垂線の足をそれぞれX, Y, Zとする。IX=IY=IZ=r (内接円の半径)

$\triangle CAI = \frac{1}{2} \times AC \times IZ = \frac{1}{2} \times 8 \times r = 4r$

$\triangle CBI = \frac{1}{2} \times BC \times IY = \frac{1}{2} \times 12 \times r = 6r$

$\triangle ABI = \frac{1}{2} \times AB \times IX = \frac{1}{2} \times 10 \times r = 5r$

$\triangle ABC = 4r + 6r + 5r = 15r$

ステップ9: 面積比

$\triangle APC : \triangle PBC = AP : PB = 4 : 6 = 2 : 3$

$\triangle APC = \frac{2}{5} \triangle ABC$

$\triangle PBC = \frac{3}{5} \triangle ABC$

$\triangle AIC = \frac{AI}{AP} \times \frac{CI}{CP} = \frac{CI}{IP}$

$\triangle AIC : \triangle API = CI : IP$

ステップ10: 計算

内心Iから3辺におろした垂線の長さは等しい (内接円の半径)。したがって、

$\triangle AIC = \frac{1}{2} AC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot r = 4r$

$\triangle BIC = \frac{1}{2} BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot r = 6r$

$\triangle AIB = \frac{1}{2} AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot r = 5r$

$\triangle ABC = \triangle AIC + \triangle BIC + \triangle AIB = 4r + 6r + 5r = 15r$

AP : PB = AC : BC = 8 : 12 = 2 : 3 なので

AP = 4, PB =

6. 面積比を使って考えると難しいので、方ベキの定理などを検討する。

ここでは、三角形の内心の性質を使う。

内角の二等分線と線分比より、AP/PB=AC/BC=8/12=2/

3. よって、CPは$\angle$Cの二等分線。

内心は角の二等分線の交点なので、$AI:ID, BI:IE, CI:IF$を考える。

$\triangle ABC$ においてチェバの定理より$\frac{AP}{PB}*\frac{BE}{EC}*\frac{CD}{DA}=1$

メネラウスの定理は$\frac{AP}{PB}*\frac{BC}{CX}*\frac{XY}{YA} = 1$

$CI : IP = (AC + BC) : AB = (8 + 12) : 10 = 20 : 10 = 2:1$

3. 最終的な答え

CI:IP = 2:1