三角形ABCにおいて、$AB=9$ cm, $BC=8$ cm, $AC=3$ cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をPとするとき、$AI:IP$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=9$ cm, $BC=8$ cm, $AC=3$ cmである。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をPとするとき、$AI:IP$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してBP:PCを求めます。

角Aの二等分線APが辺BCと交わる点をPとすると、$BP:PC = AB:AC$が成り立ちます。

$BP:PC = 9:3 = 3:1$

$BC=8$ cmなので、$BP = 8 \times \frac{3}{3+1} = 8 \times \frac{3}{4} = 6$ cm

$PC = 8 \times \frac{1}{3+1} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ cm

次に、チェバの定理を利用してAI:IPを求めます。

三角形ABCにおいて、点Iは内心であるから、BIは角Bの二等分線、CIは角Cの二等分線となる。

BIとACの交点をQ、CIとABの交点をRとする。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} = 1$

ここで、$AR:RC = AB:BC$より、$AR:RC = 9:8$

$CQ:QA = BC:BA$より、$CQ:QA = 8:9$

すると、

$\frac{AR}{RB} = \frac{AC}{BC}= \frac{3}{8}$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{BC}{BA}= \frac{8}{9}$

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{9}{9} = 1$

ここで、内心Iに関する以下の性質を利用します。

三角形ABCの内心をIとするとき、AIは角Aの二等分線であり、$AI:IP = (AB+AC):BC$ が成り立つ。

$AI:IP = (9+3):8 = 12:8 = 3:2$

3. 最終的な答え

$AI:IP = 3:2$