三角形ABCにおいて、$AB = 9$ cm, $BC = 10$ cm, $AC = 6$ cmとする。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をPとする。このとき、$AI:IP$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 9$ cm, $BC = 10$ cm, $AC = 6$ cmとする。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をPとする。このとき、$AI:IP$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用して、線分BPとPCの長さを求めます。

角の二等分線定理より、$BP:PC = AB:AC = 9:6 = 3:2$

$BC=10$より、$BP = \frac{3}{3+2} \times 10 = \frac{3}{5} \times 10 = 6$

$PC = \frac{2}{3+2} \times 10 = \frac{2}{5} \times 10 = 4$

次に、三角形ABIに着目し、線分BIが角Bの二等分線であることから、角の二等分線定理を利用します。

Iは三角形ABCの内心であるから、BIは角Bの二等分線である。

三角形ABIにおいて、BIは角Bの二等分線であるから、$AI:IP = (AB+BC):PC = (9+10):4 = 15:2$

3. 最終的な答え

$AI:IP = 15:2$