三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle ABC = 68^\circ$、$\angle BCI = 24^\circ$のとき、$\angle P$を求める。ここで、点Pは線分AIと線分BCの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle ABC = 68^\circ$、$\angle BCI = 24^\circ$のとき、$\angle P$を求める。ここで、点Pは線分AIと線分BCの交点である。

2. 解き方の手順

まず、内心の性質から、BIは$\angle ABC$の二等分線であり、CIは$\angle ACB$の二等分線である。

したがって、$\angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 68^\circ = 34^\circ$となる。

また、$\angle ACB = 2 \times \angle BCI = 2 \times 24^\circ = 48^\circ$となる。

三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 68^\circ - 48^\circ = 64^\circ$となる。

同様に、AIは$\angle BAC$の二等分線なので、$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 64^\circ = 32^\circ$となる。

次に、三角形ABPにおいて、内角の和は$180^\circ$なので、$\angle APB = 180^\circ - \angle BAP - \angle ABP = 180^\circ - \angle BAI - \angle ABI = 180^\circ - 32^\circ - 34^\circ = 114^\circ$となる。

したがって、$\angle P = \angle APB = 114^\circ$である。

3. 最終的な答え

114°