三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=9$, $AC=10$である。三角形ABCの内心をIとし、直線BIと辺ACの交点をPとする。このとき、$BI:IP$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=9$, $AC=10$である。三角形ABCの内心をIとし、直線BIと辺ACの交点をPとする。このとき、$BI:IP$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してAPとPCの比を求める。角Bの二等分線BPは、辺ACを$AB:BC$の比に内分する。したがって、

$AP:PC = AB:BC = 6:9 = 2:3$

次に、APとPCの比が2:3であることから、APとACの長さの関係を考える。$AP:AC = 2:(2+3) = 2:5$ より、$AP = \frac{2}{5} AC = \frac{2}{5} \times 10 = 4$ である。

次に、メネラウスの定理を三角形APCと直線BIに適用する。

$\frac{AI}{IC} \times \frac{CB}{BP} \times \frac{PI}{IA} = 1$

$\triangle ABC$の内心Iについて、$AI$、 $BI$、 $CI$はそれぞれ角A、角B、角Cの二等分線である。よって、内心Iは三角形の三つの角の二等分線の交点である。角の二等分線の性質より、三角形ABIと三角形CBIについて、

$\frac{AI}{IC} = \frac{AB+AC}{BC} = \frac{6+10}{9} = \frac{16}{9}$

三角形ABCの内心Iに対して、線分BIを延長した直線と辺ACの交点をPとするとき、$BI:IP$の比を求める。メネラウスの定理ではなく、角の二等分線の性質を利用した方が簡単である。

三角形ABCにおいて、角Bの二等分線BPについて、角の二等分線の性質から、

$AI:IC = (AB+BC) : AC = \frac{AB+BC}{AC} = \frac{6+9}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

角Bの二等分線BPは、角Bを二等分するので、$\angle ABP = \angle CBP$。

三角形ABIと三角形IBCに着目し、内心Iは角の二等分線の交点であるから、角の二等分線の性質より、

$BI:IP = (AB+BC) : AC = \frac{6+9}{10}=\frac{15}{5}=3:2$

三角形ABCにおいて、AP:PC=2:3なので、

$\frac{AI}{IC}\cdot \frac{CB}{BP}\cdot \frac{PI}{IA}=1$

$\frac{AB}{BC}=6:9 = 2:3$.

$\frac{AB}{BC}\cdot\frac{AP}{PC}$

$\frac{BI}{IP}=\frac{AB+BC}{AC} = \frac{6+9}{10}= \frac{15}{5}=\frac{3}{1}$

3. 最終的な答え

$BI:IP=3:1$