半径2の円O上に、AB=1を満たす2点A, Bをとる。点Aにおいて円Oと接する直線をlとする。点Bを通りlに垂直な直線とlとの交点をHとするとき、AHの長さを求める問題。選択肢は、ア. 1/4, イ. 1/2, ウ. √3/2, エ. √15/4 である。

1. 問題の内容

半径2の円O上に、AB=1を満たす2点A, Bをとる。点Aにおいて円Oと接する直線をlとする。点Bを通りlに垂直な直線とlとの交点をHとするとき、AHの長さを求める問題。選択肢は、ア. 1/4, イ. 1/2, ウ. √3/2, エ. √15/4 である。

2. 解き方の手順

円Oの中心をOとする。OAとOBを結ぶ。AHは円Oの接線なので、OAはAHに垂直である。また、BHはlに垂直なので、AHにも垂直である。よって、OAとBHは平行である。

$\angle OAB = \angle OBA$ である。

$\angle HAB = 90^\circ$ である。

$\angle AOB = \theta$ とすると、余弦定理より

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos \theta$

$1^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos \theta$

$1 = 4 + 4 - 8 \cos \theta$

$8 \cos \theta = 7$

$\cos \theta = \frac{7}{8}$

ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$\angle OAB = \alpha$ とすると、$2 \alpha + \theta = 180^\circ$ なので

$\alpha = \frac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$

$\angle HAB = 90^\circ$ であり、OAとBHが平行であるから、

$\angle HBA = \angle OAB = \alpha = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$

$AH = AB \cos (\angle HAB) = AB \cos (90^\circ-\angle HBA)$

$\sin (\frac{\theta}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1-7/8}{2}} = \sqrt{\frac{1/8}{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$\angle AHB = 90^\circ$ より $AH = AB \sin(\angle ABH) = AB \sin(\angle OAB) = AB \sin(\alpha)$

$\sin (\alpha) = \sin (90^\circ - \frac{\theta}{2}) = \cos (\frac{\theta}{2}) = \sqrt{\frac{1+ \cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 7/8}{2}} = \sqrt{\frac{15/8}{2}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

したがって、$AH = 1 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

エ. $\frac{\sqrt{15}}{4}$