半径2の円O上に、$AB = 1$を満たす2点A, Bをとる。点Aにおける円Oの接線を$l$とする。点Bを通り$l$に垂直な直線と$l$との交点をHとするとき、$AH$の長さを求める。

1. 問題の内容

半径2の円O上に、$AB = 1$を満たす2点A, Bをとる。点Aにおける円Oの接線を$l$とする。点Bを通り$l$に垂直な直線と$l$との交点をHとするとき、$AH$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、円の中心Oから弦ABに垂線OMを下ろすと、MはABの中点となる。

したがって、$AM = \frac{1}{2}$である。

直角三角形OAMにおいて、三平方の定理より、

$OM^2 + AM^2 = OA^2$

$OM^2 + (\frac{1}{2})^2 = 2^2$

$OM^2 + \frac{1}{4} = 4$

$OM^2 = \frac{15}{4}$

$OM = \frac{\sqrt{15}}{2}$

次に、BHは$l$に垂直なので、AHと平行な半径OAを考える。

四角形OAHBを考えると、これは台形である。

さらに、点OからBHに垂線OKを下ろすと、四角形OAHKは長方形となる。

したがって、$AK = OH$である。

また、直角三角形OBKにおいて、

$OB^2 = OK^2 + BK^2$

$OB = 2$であり、$OK = AH$である。また、$BK = BH - HK = BH - AO = BH - 2$。

ここで、$BH = OM$より、$BH = \frac{\sqrt{15}}{2}$

よって、$BK = \frac{\sqrt{15}}{2} - 2$

したがって、$2^2 = AH^2 + (\frac{\sqrt{15}}{2} - 2)^2$

$4 = AH^2 + \frac{15}{4} - 2\sqrt{15} + 4$

$AH^2 = - \frac{15}{4} + 2\sqrt{15}$

OからABへ垂線を下ろした点をMとする。AM = 1/2。

円Oの中心からｌへ垂線を下ろすと、これはAを通る。

点Bからｌに垂線を下ろし、その交点をHとする。

△OAMで、OA^2 = OM^2 + AM^2。OM = √(4 - 1/4) = √15 / 2。

AH = xとすると、BH = OM = √15 / 2。

△ABHを考える。AB = 1, AH = x, BH = √15 / 2。

円Oの中心を通り、BHに平行な線を引くと、lとの交点をIとする。AI = BH = √15 / 2。

AHとBIは平行。AB = 1なので、AIHから何か計算できないか。

最終的な答えを求める方針を変更する。

$\angle OAB = \theta$とおくと、$\cos{\theta} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$

$\angle HAB = \frac{\pi}{2} - \theta$

$AH = AB \cos{(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \sin{\theta}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より、

$\sin^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

よって、$AH = \frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15}}{4}$