与えられた極方程式 $r = 6\cos\theta$ のグラフを描く問題です。また、与えられた極方程式 $r = \theta$ のグラフを、$0 \leq \theta \leq 4\pi$ の範囲で描く問題です。

1. 問題の内容

与えられた極方程式 $r = 6\cos\theta$ のグラフを描く問題です。また、与えられた極方程式 $r = \theta$ のグラフを、$0 \leq \theta \leq 4\pi$ の範囲で描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $r = 6\cos\theta$ のグラフ

まず、極方程式を直交座標に変換します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$ の関係式を利用します。

$r = 6\cos\theta$ の両辺に $r$ を掛けると、

$r^2 = 6r\cos\theta$

$x^2 + y^2 = 6x$

$x^2 - 6x + y^2 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + y^2 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 3^2$

これは、中心が $(3, 0)$ で半径が $3$ の円を表します。

(2) $r = \theta$ のグラフ ($0 \leq \theta \leq 4\pi$)

$r = \theta$ はアルキメデスの螺旋と呼ばれる曲線です。$\theta$ が増加するにつれて $r$ も増加します。

$0 \leq \theta \leq 4\pi$ なので、原点から始まり、$\theta$ が $4\pi$ に達するまで螺旋を描きます。$\theta=0$のとき$r=0$、$\theta=\pi/2$のとき、$r=\pi/2$、$\theta=\pi$のとき、$r=\pi$、$\theta=3\pi/2$のとき、$r=3\pi/2$、$\theta=2\pi$のとき、$r=2\pi$、$\theta=5\pi/2$のとき、$r=5\pi/2$、$\theta=3\pi$のとき、$r=3\pi$、$\theta=7\pi/2$のとき、$r=7\pi/2$、$\theta=4\pi$のとき、$r=4\pi$となります。

3. 最終的な答え

(1) $r = 6\cos\theta$ のグラフは、中心が $(3, 0)$ で半径が $3$ の円です。

(2) $r = \theta$ ($0 \leq \theta \leq 4\pi$) のグラフは、原点から始まり、$\theta$ が $4\pi$ に達するまで螺旋を描くアルキメデスの螺旋です。