ベクトル $\vec{a}$ の大きさが2である ($|\vec{a}|=2$) とき、以下のベクトルを求めよ。 (1) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル (2) $\vec{a}$ と逆向きで、大きさが3のベクトル (3) $\vec{a}$ と平行で、大きさが1のベクトル

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ の大きさが2である ($|\vec{a}|=2$) とき、以下のベクトルを求めよ。

(1) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル

(2) $\vec{a}$ と逆向きで、大きさが3のベクトル

(3) $\vec{a}$ と平行で、大きさが1のベクトル

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトルは、$\vec{a}$ をその大きさで割れば求められる。つまり、$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ が求めるベクトルである。

$|\vec{a}|=2$ であるから、$\frac{\vec{a}}{2} = \frac{1}{2} \vec{a}$ が答えである。

(2) $\vec{a}$ と逆向きで、大きさが3のベクトルは、まず$\vec{a}$ と逆向きの単位ベクトルを求め、それに3をかければよい。$\vec{a}$ と逆向きの単位ベクトルは $-\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ である。

$|\vec{a}|=2$ であるから、$-\frac{\vec{a}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{a}$ が逆向きの単位ベクトルである。

よって、大きさが3のベクトルは $3(-\frac{1}{2}\vec{a}) = -\frac{3}{2}\vec{a}$ となる。

(3) $\vec{a}$ と平行で、大きさが1のベクトルは、$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ もしくは $-\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ である。大きさが1のベクトルは、単位ベクトルのことを指す。

$|\vec{a}|=2$ であるから、$\frac{\vec{a}}{2} = \frac{1}{2}\vec{a}$ と $-\frac{\vec{a}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{a}$ が答えである。

これは、$\pm\frac{1}{2}\vec{a}$ と書ける。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}\vec{a}$

(2) $-\frac{3}{2}\vec{a}$

(3) $\pm\frac{1}{2}\vec{a}$