直方体 ABCD-EFGH において、ベクトル $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AE}$ とするとき、以下のベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表す。 (1) $\vec{BE}$ (2) $\vec{FC}$ (3) $\vec{DF}$

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH において、ベクトル $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AE}$ とするとき、以下のベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表す。

(1) $\vec{BE}$

(2) $\vec{FC}$

(3) $\vec{DF}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{BE}$ を求める。

$\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE}$

$\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$

したがって、

$\vec{BE} = -\vec{a} + \vec{c}$

(2) $\vec{FC}$ を求める。

$\vec{FC} = \vec{FG} + \vec{GC}$

$\vec{FG} = \vec{AD} = \vec{b}$

$\vec{GC} = \vec{AE} = \vec{c}$

したがって、

$\vec{FC} = \vec{b} + \vec{c}$

(3) $\vec{DF}$ を求める。

$\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF}$

$\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$

$\vec{AB} = \vec{a}$

$\vec{BF} = \vec{AE} = \vec{c}$

したがって、

$\vec{DF} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BE} = -\vec{a} + \vec{c}$

(2) $\vec{FC} = \vec{b} + \vec{c}$

(3) $\vec{DF} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$