xy平面上に3点O(0, 0), A(-3, -4), B(12, 5)を頂点とする△OABがある。∠AOBの二等分線と辺ABとの交点をCとするとき、点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に3点O(0, 0), A(-3, -4), B(12, 5)を頂点とする△OABがある。∠AOBの二等分線と辺ABとの交点をCとするとき、点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、OAの長さとOBの長さを求める。

$OA = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$OB = \sqrt{(12 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

次に、角の二等分線の性質より、AC:CB = OA:OB = 5:13である。

点Cは線分ABを5:13に内分する点であるから、点Cの座標は次の式で求められる。

$C = (\frac{13A + 5B}{5+13})$

$C = (\frac{13 \times (-3) + 5 \times 12}{18}, \frac{13 \times (-4) + 5 \times 5}{18})$

$C = (\frac{-39 + 60}{18}, \frac{-52 + 25}{18})$

$C = (\frac{21}{18}, \frac{-27}{18})$

$C = (\frac{7}{6}, \frac{-3}{2})$

3. 最終的な答え

点Cの座標は $(\frac{7}{6}, -\frac{3}{2})$