実数 $k$ に対して、双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $2x - y + k = 0$ が異なる2点P, Qで交わるとき、線分PQの中点をRとする。以下の問いに答えよ。 (1) $k$の値の範囲を求めよ。 (2) 点Rの座標を$k$を用いて表せ。 (3) $k$が(1)で求めた範囲を動くとき、点Rの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $k$ に対して、双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $2x - y + k = 0$ が異なる2点P, Qで交わるとき、線分PQの中点をRとする。以下の問いに答えよ。

(1) $k$の値の範囲を求めよ。

(2) 点Rの座標を$k$を用いて表せ。

(3) $k$が(1)で求めた範囲を動くとき、点Rの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、直線の方程式を変形して$y = 2x + k$とし、双曲線の式に代入する。

$x^2 - (2x + k)^2 = 1$

$x^2 - (4x^2 + 4kx + k^2) = 1$

$-3x^2 - 4kx - k^2 - 1 = 0$

$3x^2 + 4kx + k^2 + 1 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式$D$が正である必要がある。

$D = (4k)^2 - 4(3)(k^2 + 1) = 16k^2 - 12k^2 - 12 = 4k^2 - 12 > 0$

$k^2 > 3$

よって、$k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$。

(2) 2点P, Qの$x$座標をそれぞれ$x_1, x_2$とすると、$x_1, x_2$は2次方程式$3x^2 + 4kx + k^2 + 1 = 0$の解である。解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = -\frac{4k}{3}$

点Rの$x$座標は、

$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{2k}{3}$

点Rの$y$座標は、$y = 2x + k = 2(-\frac{2k}{3}) + k = -\frac{4k}{3} + k = -\frac{k}{3}$

したがって、点Rの座標は$(-\frac{2k}{3}, -\frac{k}{3})$。

(3) 点Rの座標を$(X, Y)$とすると、$X = -\frac{2k}{3}$、$Y = -\frac{k}{3}$である。

$k = -3Y$なので、$X = -\frac{2(-3Y)}{3} = 2Y$

よって、$X = 2Y$、すなわち$Y = \frac{1}{2}X$である。

また、$k < -\sqrt{3}$または$k > \sqrt{3}$なので、

$-3Y < -\sqrt{3}$または$-3Y > \sqrt{3}$

$Y > \frac{\sqrt{3}}{3}$または$Y < -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$X = 2Y$だから、$2Y > \frac{2\sqrt{3}}{3}$または$2Y < -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$X > \frac{2\sqrt{3}}{3}$または$X < -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点Rの軌跡は、直線$y = \frac{1}{2}x$の、$x < -\frac{2\sqrt{3}}{3}$または$x > \frac{2\sqrt{3}}{3}$の部分である。

3. 最終的な答え

(1) $k < -\sqrt{3}$または $k > \sqrt{3}$

(2) $(-\frac{2k}{3}, -\frac{k}{3})$

(3) 直線 $y = \frac{1}{2}x$ の $x < -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ または $x > \frac{2\sqrt{3}}{3}$ の部分