xy平面に平行な2つの平面 $\alpha_0, \alpha_1$ があり、それぞれ点 $(0, 0, z_0), (0, 0, z_1)$ を通る。ただし、$0 < z_0 < z_1$。平面 $\alpha_0, \alpha_1$ 上にそれぞれ $(0, 0, z_0), (0, 0, z_1)$ を中心とする半径 $r (r > 0)$ の円 $C_0, C_1$ がある。3点 $A(0, -r, z_0), B(0, r, z_0), D(0, r, z_1)$ に対し、$OB = 1, OD = 2, \angle AOD = 90^\circ$ となっている。 (1) $r, z_0, z_1$ の値を求めよ。 (2) $\angle OAQ = 90^\circ$ となるとき、$Q$ の座標を求めよ。ただし、$Q$ は $C_1$ 上の点である。

1. 問題の内容

xy平面に平行な2つの平面 $\alpha_0, \alpha_1$ があり、それぞれ点 $(0, 0, z_0), (0, 0, z_1)$ を通る。ただし、$0 < z_0 < z_1$。平面 $\alpha_0, \alpha_1$ 上にそれぞれ $(0, 0, z_0), (0, 0, z_1)$ を中心とする半径 $r (r > 0)$ の円 $C_0, C_1$ がある。3点 $A(0, -r, z_0), B(0, r, z_0), D(0, r, z_1)$ に対し、$OB = 1, OD = 2, \angle AOD = 90^\circ$ となっている。

(1) $r, z_0, z_1$ の値を求めよ。

(2) $\angle OAQ = 90^\circ$ となるとき、$Q$ の座標を求めよ。ただし、$Q$ は $C_1$ 上の点である。

2. 解き方の手順

(1) まず、$OB=1, OD=2$ より、

$OB^2 = r^2 + z_0^2 = 1$

$OD^2 = r^2 + z_1^2 = 4$

$\vec{OA} = (0, -r, z_0)$

$\vec{OD} = (0, r, z_1)$

$\angle AOD = 90^\circ$ より、内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OD} = 0$。

$\vec{OA} \cdot \vec{OD} = (0)(0) + (-r)(r) + (z_0)(z_1) = -r^2 + z_0 z_1 = 0$

よって、$r^2 = z_0 z_1$。

$r^2 = 1 - z_0^2$ および $r^2 = 4 - z_1^2$ より、

$1 - z_0^2 = 4 - z_1^2$

$z_1^2 - z_0^2 = 3$

$(z_1 - z_0)(z_1 + z_0) = 3$

$r^2 = z_0 z_1$ より、

$1 - z_0^2 = z_0 z_1$

$4 - z_1^2 = z_0 z_1$

したがって、$1 = z_0^2 + z_0 z_1$ かつ $4 = z_1^2 + z_0 z_1$

$4 - 1 = z_1^2 - z_0^2 = 3$。これは既に分かっている。

$r^2 = z_0 z_1$ を $1 - z_0^2 = z_0 z_1$ に代入すると、$r^2 + z_0^2 = 1$ より、$r = \sqrt{1 - z_0^2}$。

$1 = z_0^2 + z_0 z_1$ より、$z_1 = \frac{1 - z_0^2}{z_0} = \frac{1}{z_0} - z_0$

$4 = z_1^2 + z_0 z_1$ より、$4 = z_1(z_1 + z_0)$

$z_1 + z_0 = \frac{1 - z_0^2}{z_0} + z_0 = \frac{1 - z_0^2 + z_0^2}{z_0} = \frac{1}{z_0}$

$4 = z_1 \cdot \frac{1}{z_0} = (\frac{1}{z_0} - z_0) \cdot \frac{1}{z_0}$

$4 = \frac{1}{z_0^2} - 1$

$\frac{1}{z_0^2} = 5$

$z_0^2 = \frac{1}{5}$

$z_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$r^2 = 1 - z_0^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$r = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$z_1 = \frac{1}{z_0} - z_0 = \sqrt{5} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5 - 1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$

(2) $\angle OAQ = 90^\circ$ となるとき、$Q(x, y, z_1)$ とすると、$\vec{OA} \cdot \vec{OQ} = 0$。

$\vec{OA} = (0, -r, z_0)$ であり、$\vec{OQ} = (x, y, z_1)$ より、

$\vec{OA} \cdot \vec{OQ} = 0 \cdot x + (-r) \cdot y + z_0 \cdot z_1 = 0$

$-ry + z_0 z_1 = 0$

$ry = z_0 z_1 = r^2$

$y = r = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$Q$ は $C_1$ 上の点なので、$x^2 + (y - r)^2 = r^2$

$x^2 + (r - r)^2 = r^2$

$x^2 = r^2 = (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{4}{5}$

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

したがって、$Q = (\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$。

3. 最終的な答え

(1) $r = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, z_0 = \frac{\sqrt{5}}{5}, z_1 = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$

(2) $Q = (\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$