三角形ABCにおいて、AB = 20、BC = 16、AC = 12である。角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 20、BC = 16、AC = 12である。角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の定理を用いる。角Aの二等分線が辺BCと点Dで交わるとき、以下の比が成り立つ。

$AB : AC = BD : DC$

問題文より、$AB = 20$, $AC = 12$, $BC = 16$ である。

$BD = x$ とすると、$DC = BC - BD = 16 - x$ となる。

上記の比の式にこれらの値を代入する。

$20 : 12 = x : (16 - x)$

これを解いて$x$を求める。

比の式を分数で表すと、

$\frac{20}{12} = \frac{x}{16 - x}$

両辺に$12(16 - x)$を掛けて、分母を払う。

$20(16 - x) = 12x$

$320 - 20x = 12x$

$320 = 32x$

$x = \frac{320}{32}$

$x = 10$

よって、$BD = 10$ となる。

3. 最終的な答え

線分BDの長さは10である。