三角形ABCにおいて、$AB=9$, $BC=5$, $AC=6$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=9$, $BC=5$, $AC=6$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線と辺BCの延長の交点をDとする問題なので、外角の二等分線の性質を利用する。外角の二等分線の性質とは、三角形ABCにおいて、角Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとすると、$AB:AC = BD:CD$が成り立つというものである。

この問題の場合、$AB=9$, $AC=6$なので、$AB:AC = 9:6 = 3:2$となる。

したがって、$BD:CD = 3:2$となる。

ここで、$BD=x$とおくと、$CD = BC + BD = 5 + x$となる。

よって、$x:(5+x) = 3:2$となる。

これを解くと、$2x = 3(5+x)$より、$2x = 15 + 3x$なので、$x = -15$となる。

しかし、$x$は線分の長さなので正である必要がある。したがって、$CD:BD = 3:2$とおくと、$CD=x$とおくと、$BD = BC+CD = 5+x$となる。よって、$x:(5+x)=2:3$となる。

これを解くと、$3x = 2(5+x)$より、$3x = 10 + 2x$なので、$x = 10$となる。

したがって、$CD=10$なので、$BD = 5 + 10 = 15$となる。

3. 最終的な答え

線分BDの長さは15。