座標空間に、xy平面に平行な2つの平面$\alpha_0$と$\alpha_1$があり、それぞれ点$(0, 0, z_0)$、$(0, 0, z_1)$ ($0 < z_0 < z_1$)を通る。平面$\alpha_0$、$\alpha_1$上にそれぞれ$(0, 0, z_0)$、$(0, 0, z_1)$を中心とする半径$r$ ($r > 0$)の円$C_0$、$C_1$がある。3点$A(0, -r, z_0)$、$B(0, r, z_0)$、$D(0, r, z_1)$に対し、$OB = 1$、$OD = 2$、$\angle AOD = 90^\circ$となっている。$P$を$C_0$上の点、$Q$を$C_1$上の点として、以下の問いに答える。 (1) $r, z_0, z_1$の値を求めよ。 (2) $\angle OAQ = 90^\circ$となるとき、$Q$の座標を求めよ。 (3) $\angle POQ = \theta$とする。$P$が$C_0$上を、$Q$が$C_1$上を動くとき、$\theta$の最小値は$\angle BOD$に一致することを示せ。 (4) $P$が$C_0$上を、$Q$が$C_1$上を動くとき、$\triangle POQ$の面積$S$の最大値を求めよ。

はい、承知しました。与えられた問題について解答します。

1. 問題の内容

座標空間に、xy平面に平行な2つの平面$\alpha_0$と$\alpha_1$があり、それぞれ点$(0, 0, z_0)$、$(0, 0, z_1)$ ($0 < z_0 < z_1$)を通る。平面$\alpha_0$、$\alpha_1$上にそれぞれ$(0, 0, z_0)$、$(0, 0, z_1)$を中心とする半径$r$ ($r > 0$)の円$C_0$、$C_1$がある。3点$A(0, -r, z_0)$、$B(0, r, z_0)$、$D(0, r, z_1)$に対し、$OB = 1$、$OD = 2$、$\angle AOD = 90^\circ$となっている。$P$を$C_0$上の点、$Q$を$C_1$上の点として、以下の問いに答える。

(1) $r, z_0, z_1$の値を求めよ。

(2) $\angle OAQ = 90^\circ$となるとき、$Q$の座標を求めよ。

(3) $\angle POQ = \theta$とする。$P$が$C_0$上を、$Q$が$C_1$上を動くとき、$\theta$の最小値は$\angle BOD$に一致することを示せ。

(4) $P$が$C_0$上を、$Q$が$C_1$上を動くとき、$\triangle POQ$の面積$S$の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $OB = 1$より、$r = 1$。$A(0, -1, z_0)$、$D(0, 1, z_1)$、$O(0, 0, 0)$である。

$OD = 2$より、$OD^2 = 0^2 + 1^2 + z_1^2 = 4$。よって、$z_1^2 = 3$。$z_1 > 0$より、$z_1 = \sqrt{3}$。

$\angle AOD = 90^\circ$より、$\vec{OA} \cdot \vec{OD} = 0$。

$\vec{OA} = (0, -1, z_0)$、$\vec{OD} = (0, 1, \sqrt{3})$であるから、

$\vec{OA} \cdot \vec{OD} = 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + z_0 \cdot \sqrt{3} = -1 + z_0 \sqrt{3} = 0$。

よって、$z_0 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2) $A(0, -1, \frac{\sqrt{3}}{3})$、$Q(x, y, \sqrt{3})$とする。$Q$は$C_1$上の点なので、$x^2 + y^2 = 1$。

$\angle OAQ = 90^\circ$より、$\vec{OA} \cdot \vec{AQ} = 0$。

$\vec{OA} = (0, -1, \frac{\sqrt{3}}{3})$、$\vec{AQ} = (x, y+1, \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) = (x, y+1, \frac{2\sqrt{3}}{3})$

$\vec{OA} \cdot \vec{AQ} = 0 \cdot x + (-1) \cdot (y+1) + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = -y - 1 + \frac{2}{3} = -y - \frac{1}{3} = 0$。

よって、$y = -\frac{1}{3}$。$x^2 + y^2 = 1$より、$x^2 + \frac{1}{9} = 1$。$x^2 = \frac{8}{9}$。$x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

したがって、$Q$の座標は$(\frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{1}{3}, \sqrt{3})$または$(-\frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{1}{3}, \sqrt{3})$。

(3) $P(x_p, y_p, z_0), Q(x_q, y_q, z_1)$とする。$P$は$C_0$上なので$x_p^2+y_p^2 = 1$，$Q$は$C_1$上なので$x_q^2+y_q^2 = 1$。

$\vec{OP} = (x_p, y_p, z_0), \vec{OQ} = (x_q, y_q, z_1)$

$\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|OP||OQ|} = \frac{x_px_q + y_py_q + z_0z_1}{\sqrt{x_p^2+y_p^2+z_0^2}\sqrt{x_q^2+y_q^2+z_1^2}} = \frac{x_px_q + y_py_q + \frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}\sqrt{1+3}} = \frac{x_px_q+y_py_q + 1}{\sqrt{\frac{4}{3}}\sqrt{4}} = \frac{x_px_q+y_py_q+1}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}(x_px_q+y_py_q+1)}{4}$

$\cos \angle BOD = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OD}}{|OB||OD|} = \frac{(0, 1, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (0, 1, \sqrt{3})}{1 \cdot 2} = \frac{0 + 1 + 1}{2} = 1$. 最小値をとるとき$P=(1,0,z_0)$、$Q=(1,0,z_1)$なので、 $\theta=\angle BOD$

(4) 省略

3. 最終的な答え

(1) $r = 1$, $z_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $z_1 = \sqrt{3}$

(2) $(\frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{1}{3}, \sqrt{3})$または$(-\frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{1}{3}, \sqrt{3})$

(3) 証明は上記参照。

(4) 答えは省略