$xy$平面上の双曲線 $9x^2 - y^2 + 2y - 10 = 0$ の焦点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上の双曲線 $9x^2 - y^2 + 2y - 10 = 0$ の焦点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた双曲線の式を標準形に変形します。

$9x^2 - y^2 + 2y - 10 = 0$ を変形すると、

$9x^2 - (y^2 - 2y) - 10 = 0$

$9x^2 - (y^2 - 2y + 1 - 1) - 10 = 0$

$9x^2 - (y - 1)^2 + 1 - 10 = 0$

$9x^2 - (y - 1)^2 = 9$

両辺を9で割ると、

$\frac{x^2}{1} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$

これは、双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ の標準形であり、中心が $(0, k)$、焦点が $x$軸上にあるものです。

この双曲線の場合、$a^2 = 1$、$b^2 = 9$ であり、$a = 1$、$b = 3$ です。

焦点の座標を求めるには、$c^2 = a^2 + b^2$ を計算します。

$c^2 = 1 + 9 = 10$

したがって、$c = \sqrt{10}$ です。

双曲線の中心は $(0, 1)$ なので、焦点の座標は $( \pm \sqrt{10}, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

焦点の座標は $(\sqrt{10}, 1)$ と $(-\sqrt{10}, 1)$ です。