台形ABCDにおいて、BC=9cm、CD=6cm、DA=5cm、∠C=∠D=90°である。点Pは毎秒1cmの速さで点Aを出発し、台形の辺上を点Dを通って点Cまで動く。点Pが点Aを出発してからx秒後の△BPCの面積をy cm²とする。 問1：点Pが点Aを出発してから3秒後のyの値を求める。 問2：△BPDと△BPCの面積の比が1:3になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、BC=9cm、CD=6cm、DA=5cm、∠C=∠D=90°である。点Pは毎秒1cmの速さで点Aを出発し、台形の辺上を点Dを通って点Cまで動く。点Pが点Aを出発してからx秒後の△BPCの面積をy cm²とする。

問1：点Pが点Aを出発してから3秒後のyの値を求める。

問2：△BPDと△BPCの面積の比が1:3になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

問1:

点Pが点Aを出発してから3秒後の位置を考える。点PはAD上にある。

AP = 3cm なので、PD = AD - AP = 5 - 3 = 2cm となる。

△BPCの面積 $y$ は、底辺をBCとすると、高さはDCなので、

$y = \frac{1}{2} \times BC \times DC = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ cm²。

ただし、これは点PがAD上にあるとき。3秒なのでAD上にある。

問2:

△BPDと△BPCの面積の比が1:3となる場合を考える。

まず、点PがAD上にあるときを考える。

△BPDの底辺をPDとすると、高さはBCとなる。PD = x - 5

△BPCの底辺をBCとすると、高さはDC=6となる。

△BPDの面積は $\frac{1}{2} \times PD \times DC = \frac{1}{2} \times (5-x) \times 6 = 3(5-x)$ 。 ただし $0 < x < 5$

△BPCの面積は $\frac{1}{2} \times BC \times DC = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ 。

$\frac{3(5-x)}{27} = \frac{1}{3}$

$9(5-x) = 27$

$5-x = 3$

$x=2$

次に点PがDC上にあるときを考える。

DP = x - 5

PC = 6 - (x - 5) = 11 - x

△BPDの面積は $\frac{1}{2} \times BC \times PD = \frac{1}{2} \times 9 \times (x-5) = \frac{9(x-5)}{2}$

△BPCの面積は $\frac{1}{2} \times BC \times PC = \frac{1}{2} \times 9 \times (11-x) = \frac{9(11-x)}{2}$

$\frac{\frac{9(x-5)}{2}}{\frac{9(11-x)}{2}} = \frac{x-5}{11-x} = \frac{1}{3}$

$3(x-5) = 11-x$

$3x - 15 = 11 - x$

$4x = 26$

$x = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6.5$

$5<x<11$を満たすので、これは正しい。

3. 最終的な答え

問1：27 cm²

問2：2秒後、6.5秒後