2つの関数 $y = \frac{1}{2}x + 3$ (これを式①とします) と $y = -2x - 2$ (これを式②とします) のグラフが点Aで交わっています。式①と式②のグラフと $y$ 軸との交点をそれぞれB, Cとします。 問1: 式①のグラフが $x$ 軸と交わる点をDとするとき、点Dの座標を求めなさい。 問2: 点Pを $x$ 軸上にとります。三角形ABPの面積が三角形ABCの面積の $\frac{3}{4}$ 倍になるときの点Pの $x$ 座標を求めなさい。ただし、点Pの $x$ 座標は正の数とします。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = \frac{1}{2}x + 3$ (これを式①とします) と $y = -2x - 2$ (これを式②とします) のグラフが点Aで交わっています。式①と式②のグラフと $y$ 軸との交点をそれぞれB, Cとします。

問1: 式①のグラフが $x$ 軸と交わる点をDとするとき、点Dの座標を求めなさい。

問2: 点Pを $x$ 軸上にとります。三角形ABPの面積が三角形ABCの面積の $\frac{3}{4}$ 倍になるときの点Pの $x$ 座標を求めなさい。ただし、点Pの $x$ 座標は正の数とします。

2. 解き方の手順

問1:

点Dは式①のグラフと $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を式①に代入します。

$0 = \frac{1}{2}x + 3$

$-\frac{1}{2}x = 3$

$x = -6$

したがって、点Dの座標は $(-6, 0)$ です。

問2:

まず、点A, B, Cの座標を求めます。

点Bは式①と $y$ 軸との交点なので、$x=0$ を式①に代入すると $y=3$。したがって、点Bの座標は $(0, 3)$ です。

点Cは式②と $y$ 軸との交点なので、$x=0$ を式②に代入すると $y=-2$。したがって、点Cの座標は $(0, -2)$ です。

点Aは式①と式②の交点なので、連立方程式

$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 3 \\ y = -2x - 2 \end{cases}$

を解きます。

$\frac{1}{2}x + 3 = -2x - 2$

$\frac{5}{2}x = -5$

$x = -2$

$y = -2(-2) - 2 = 2$

したがって、点Aの座標は $(-2, 2)$ です。

三角形ABCの面積を求めます。BCの長さは $3 - (-2) = 5$ です。三角形ABCの底辺をBCとすると、高さは点Aの $x$ 座標の絶対値なので、$|-2| = 2$ です。

したがって、三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$ です。

点Pの座標を $(t, 0)$ とします。ただし、$t > 0$ です。

三角形ABPの面積を求めます。ABの長さは点Bから点Aまでの距離なので、ABを底辺と考えるのは計算が複雑になります。点Bの $y$ 座標は3なので、ABの長さではなく、底辺をBPとすると、三角形ABPの高さは点Aの $y$ 座標の絶対値なので、2 です。

BPの長さは、$|t - 0| = |t|$ です。$t > 0$ なので、BPの長さは $t$ です。

したがって、三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times t \times |3 - 2| = \frac{1}{2} |3 - 2| t$ ではありません。

BPを底辺としたときの高さは、点Aのy座標からPのy座標を引いた値の絶対値になります。点Pはx軸上にありy座標は0なので、高さは $|2-0| = 2$です。よって、三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times |3 - 0| \times h$ ではありません.三角形ABPの底辺をBPとしたとき、Pのx座標は$t$なので、BPの長さは $|t - 0| = t$ です。P,Bは$x$軸と$y$軸上にあるので、$\triangle$ABPの高さはAからx軸までの距離で、2です。

よって、$\triangle$ABPの面積は $\frac{1}{2} * t * h$ではありません。

点Pを $(t, 0)$ とおくと、線分BPの長さは $|t-0| = t$ です。三角形ABPの面積は、底辺を線分BPと考えると、高さは点Aのy座標から点Pのy座標までの距離なので $|2-0| = 2$となります。

したがって、三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times t \times 2 = t$ です。

$\triangle ABP = \frac{3}{4} \triangle ABC$ なので

$t = \frac{3}{4} \times 5$

$t = \frac{15}{4}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{15}{4}, 0)$ です。

3. 最終的な答え

問1: D $(-6, 0)$

問2: P $(\frac{15}{4}, 0)$