立方体において、線分BG上に点Pがあり、BP:PG = 2:1 であるとき、四面体BDHPの体積を求めよ。ただし、立方体の1辺の長さを具体的に指定されていないので、それを$a$として計算し、最終的な体積を$a$を用いて表すものとする。

1. 問題の内容

立方体において、線分BG上に点Pがあり、BP:PG = 2:1 であるとき、四面体BDHPの体積を求めよ。ただし、立方体の1辺の長さを具体的に指定されていないので、それを$a$として計算し、最終的な体積を$a$を用いて表すものとする。

2. 解き方の手順

まず、立方体の1辺の長さを $a$ とします。すると、BGは正方形BFGCの対角線であるから、$BG = \sqrt{BF^2 + FG^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ となります。

次に、BP:PG = 2:1 より、$BP = \frac{2}{3} BG = \frac{2}{3} \sqrt{2} a$ と $PG = \frac{1}{3} BG = \frac{1}{3} \sqrt{2} a$ が得られます。

四面体BDHPの体積を求めるために、まず四面体BGDHの体積を求めます。四面体BGDHは立方体から4つの合同な三角錐を切り取ったものです。三角錐B-FGH、D-CGH、D-ABH、B-CDF です。

各三角錐の体積は $\frac{1}{3} \times (底面積) \times (高さ) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} a^2 \times a = \frac{1}{6} a^3$ です。

したがって、4つの三角錐の体積の合計は、$4 \times \frac{1}{6} a^3 = \frac{2}{3} a^3$ です。

立方体の体積は $a^3$ なので、四面体BGDHの体積は $a^3 - \frac{2}{3} a^3 = \frac{1}{3} a^3$ です。

四面体BDHPの体積は、四面体BGDHの体積に、PがBG上にあることを考慮して、比率をかけます。四面体BGDHを底面BHDとし、頂点をGとしたときの高さを考えると、四面体BDHPは底面BHDは同じで、頂点をPとしたものです。したがって、体積の比は高さGPと高さBGの比に等しくなります。つまり、$\frac{GP}{BG} = \frac{1}{3}$ です。

よって、四面体BDHPの体積は

$\frac{1}{3} a^3 \times \frac{PG}{BG} = \frac{1}{3} a^3 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} a^3$

3. 最終的な答え

四面体BDHPの体積は $\frac{1}{9} a^3$ である。