図1のように、正三角形ABCと平行四辺形EBCDがあり、点Eは辺ABの中点である。辺ACとEDの交点をFとする。図2は、図1において、平行四辺形EBCDの対角線の交点をOとし、直線AOと辺ED, BCとの交点をそれぞれP, Qとしたものである。このとき、$OP = OQ$ であることを証明する。

1. 問題の内容

図1のように、正三角形ABCと平行四辺形EBCDがあり、点Eは辺ABの中点である。辺ACとEDの交点をFとする。図2は、図1において、平行四辺形EBCDの対角線の交点をOとし、直線AOと辺ED, BCとの交点をそれぞれP, Qとしたものである。このとき、$OP = OQ$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質から、OはEBとDCの中点である。また、EがABの中点なので、EB = $\frac{1}{2}$AB。

正三角形ABCなので、AB = BC。したがって、EB = $\frac{1}{2}$BCとなる。

次に、$\triangle ABE$と$\triangle CQO$に着目する。

$\angle EBQ$ = $\angle OCB$ (平行四辺形の性質)

$\angle AEB$ = $\angle OQC$ (平行線の錯角)

$EB = \frac{1}{2}BC = CQ$

したがって、$\triangle EPB \sim \triangle COQ$

したがって、$OP=OQ$

3. 最終的な答え

$OP = OQ$ であることが証明された。