原点を中心とする半径2の円Cに、点P(3,5)から2本の接線を引く。接点をそれぞれA, Bとする。 (1) 直線ABの方程式を求める。 (2) 直線AB上の点Qで、線分PQの長さが最小となるような点Qの座標を求める。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径2の円Cに、点P(3,5)から2本の接線を引く。接点をそれぞれA, Bとする。

(1) 直線ABの方程式を求める。

(2) 直線AB上の点Qで、線分PQの長さが最小となるような点Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

点P(3,5)から円 $x^2 + y^2 = 4$ に引いた2本の接線の接点A, Bを通る直線の方程式は、点Pが円外にあるとき、$3x + 5y = 4$で与えられる。

(2) 線分PQの長さが最小となる点Qの座標を求める。

線分PQの長さが最小になるのは、点Qが直線AB上で、かつ直線OPと直線ABが垂直に交わるときである。

直線OPの傾きは $5/3$ なので、直線ABの傾きは $-3/5$である。

また、直線OPと直線ABの交点Qは、直線AB上でPQが最小となる点である。

点Qは直線 $3x + 5y = 4$ 上にあるので、点Qの座標を $(x,y)$とすると、$3x + 5y = 4$を満たす。

また、点Qは原点Oと点P(3,5)を結ぶ直線上にあるので、点Qの座標を$(3t, 5t)$と表せる。

これを$3x + 5y = 4$に代入すると、

$3(3t) + 5(5t) = 4$

$9t + 25t = 4$

$34t = 4$

$t = 2/17$

したがって、点Qの座標は、$(3(2/17), 5(2/17)) = (6/17, 10/17)$となる。

3. 最終的な答え

直線ABの方程式は、$3x+5y=4$。

点Qの座標は、$(\frac{6}{17}, \frac{10}{17})$。