鋭角三角形$ABC$の辺$BC$上に点$P$がある。$\triangle ABP$の外接円の半径を$R_1$、$\triangle ACP$の外接円の半径を$R_2$とする。$\angle BPA = \theta$とし、正弦定理を用いて$R_1$、$R_2$を$c$, $b$, $\sin \theta$を用いて表す。(1) で$R_1$と$R_2$を求める。(2) で、$R_1 + R_2$が最小となるような$\theta$の値と、$R_1 + R_2$の最小値を求める。

1. 問題の内容

鋭角三角形$ABC$の辺$BC$上に点$P$がある。$\triangle ABP$の外接円の半径を$R_1$、$\triangle ACP$の外接円の半径を$R_2$とする。$\angle BPA = \theta$とし、正弦定理を用いて$R_1$、$R_2$を$c$, $b$, $\sin \theta$を用いて表す。(1) で$R_1$と$R_2$を求める。(2) で、$R_1 + R_2$が最小となるような$\theta$の値と、$R_1 + R_2$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABP$において、正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle APB} = 2R_1$

$AB = c$, $\angle APB = \theta$より、

$\frac{c}{\sin \theta} = 2R_1$

よって、

$R_1 = \frac{c}{2\sin \theta}$

$\triangle ACP$において、正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \angle APC} = 2R_2$

$AC = b$, $\angle APC = \pi - \theta$より、

$\frac{b}{\sin (\pi - \theta)} = 2R_2$

$\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$なので、

$\frac{b}{\sin \theta} = 2R_2$

よって、

$R_2 = \frac{b}{2\sin \theta}$

(2)

$R_1 + R_2 = \frac{c}{2\sin \theta} + \frac{b}{2\sin \theta} = \frac{b+c}{2\sin \theta}$

$R_1 + R_2$が最小となるのは$\sin \theta$が最大となるとき。$\sin \theta$の最大値は1なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$のとき、$R_1 + R_2$は最小値をとる。

そのときの最小値は、

$R_1 + R_2 = \frac{b+c}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$R_1 = \frac{c}{2\sin \theta}$

$R_2 = \frac{b}{2\sin \theta}$

(2)

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$R_1 + R_2$の最小値は$\frac{b+c}{2}$