三角形ABCの内部にある点Pについて、以下の式が成り立っている。 $4\overrightarrow{PA} + 5\overrightarrow{PB} + 6\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ (1) 直線CPと辺ABとの交点をDとするとき、CP:PD および AD:DB を最も簡単な整数比で表す。 (2) 点Dを通り辺ACに平行な直線が辺BCと交わる点をEとし、線分PBと交わる点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、三角形BDFの面積をSを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部にある点Pについて、以下の式が成り立っている。

$4\overrightarrow{PA} + 5\overrightarrow{PB} + 6\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$

(1) 直線CPと辺ABとの交点をDとするとき、CP:PD および AD:DB を最も簡単な整数比で表す。

(2) 点Dを通り辺ACに平行な直線が辺BCと交わる点をEとし、線分PBと交わる点をFとする。三角形ABCの面積をSとするとき、三角形BDFの面積をSを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$4\overrightarrow{PA} + 5\overrightarrow{PB} + 6\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ より、$4\overrightarrow{AP} + 5\overrightarrow{BP} + 6\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$となる。

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CB}$ を代入する。

$4(\overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CA}) + 5(\overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CB}) + 6\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

$15\overrightarrow{CP} = 4\overrightarrow{CA} + 5\overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CP} = \frac{4\overrightarrow{CA} + 5\overrightarrow{CB}}{15}$

点Dは直線CP上にあるので、$\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{CP}$と表せる。

$\overrightarrow{CD} = k\frac{4\overrightarrow{CA} + 5\overrightarrow{CB}}{15} = \frac{4k}{15}\overrightarrow{CA} + \frac{5k}{15}\overrightarrow{CB}$

点Dは直線AB上にあるので、$\frac{4k}{15} + \frac{5k}{15} = 1$

$\frac{9k}{15} = 1$

$k = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

よって、$\overrightarrow{CD} = \frac{5}{3}\overrightarrow{CP}$, $\overrightarrow{CP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CP} - \frac{5}{3}\overrightarrow{CP} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}$

$|\overrightarrow{DP}| = \frac{2}{3}|\overrightarrow{CP}|$

$CP:PD = |\overrightarrow{CP}| : |\overrightarrow{DP}| = |\overrightarrow{CP}| : \frac{2}{3}|\overrightarrow{CP}| = 3:2$

また、点Dは線分AB上にあるので、

$\overrightarrow{CD} = \frac{4k}{15}\overrightarrow{CA} + \frac{5k}{15}\overrightarrow{CB} = \frac{4}{9}\overrightarrow{CA} + \frac{5}{9}\overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{CD} = \frac{5}{9}\overrightarrow{CB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{CD} = \frac{5}{9}\overrightarrow{CB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{CA} = \frac{5\overrightarrow{CB} + 4\overrightarrow{CA}}{9} = \frac{4\overrightarrow{CA} + 5\overrightarrow{CB}}{4+5}$

したがって、$AD:DB = 5:4$

(2)

点Dを通り辺ACに平行な直線が辺BCと交わる点をEとする。

点Eは直線DE上にあるので$\overrightarrow{CE} = l\overrightarrow{CB}$ と表せる。

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{ED}$

$\overrightarrow{ED} = m\overrightarrow{CA}$ とすると、$\overrightarrow{CD} = l\overrightarrow{CB} + m\overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{CD} = \frac{5}{9}\overrightarrow{CB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{CA}$と比べて、$l = \frac{5}{9}, m = \frac{4}{9}$

よって、$\overrightarrow{CE} = \frac{5}{9}\overrightarrow{CB}$

点Fは線分PB上にあるので、面積比を求めるために、メネラウスの定理を用いる。

三角形CBEにおいて、直線PFDについて考える。

$\frac{CP}{PD} \cdot \frac{DF}{FE} \cdot \frac{EB}{BC} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{DF}{FE} \cdot \frac{4}{9} = 1$

$\frac{DF}{FE} = \frac{3}{2}$

よって、$\frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}$

三角形BDEの面積は、$\frac{BD}{BA} \times \frac{BE}{BC} \times \text{三角形ABCの面積}$で計算できる。

$\frac{4}{9} \times \frac{4}{9} \times S = \frac{16}{81}S$

三角形BDFの面積は、$\frac{DF}{DE} \times \text{三角形BDEの面積}$で計算できる。

$\frac{3}{5} \times \frac{16}{81} S = \frac{16}{27} \times \frac{1}{5}S = \frac{16}{135}S$

3. 最終的な答え

(1) CP:PD = 3:2, AD:DB = 5:4

(2) 三角形BDFの面積 = $\frac{16}{135}S$