図のように立方体があり、線分BG上に点Pをとって四面体BDHPを作った。BP:PG=2:1のとき、四面体BDHPの体積を求めよ。ただし、立方体の1辺の長さを1とする。

1. 問題の内容

図のように立方体があり、線分BG上に点Pをとって四面体BDHPを作った。BP:PG=2:1のとき、四面体BDHPの体積を求めよ。ただし、立方体の1辺の長さを1とする。

2. 解き方の手順

まず、立方体の1辺の長さを1とします。

四面体BDHPの体積を求めるために、三角錐B-DHPの体積を考えます。

三角錐B-DHPの体積は、四面体BDHPの体積に等しいです。

$V = \frac{1}{3} \times S \times h$

ここで、$S$は底面積、$h$は高さです。

底面を三角形DHPとすると、高さは点Bから平面DHPに下ろした垂線の長さになります。

しかし、この高さは求めにくいので、別の方法で考えます。

四面体BDHPの体積は、立方体から四面体ABDH、四面体BCPH、四面体DGFH、四面体HEPGの体積を引くことで求められます。

しかし、これも計算が複雑になります。

そこで、三角錐B-DHPの体積を直接計算することを考えます。

まず、BP:PG = 2:1なので、BP = $\frac{2}{3}\sqrt{2}$ となります。

ここで、BG = $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$なので、BP = $\frac{2}{3}BG = \frac{2}{3}\sqrt{2}$です。

また、PG = $\frac{1}{3}BG = \frac{1}{3}\sqrt{2}$です。

次に、三角形BDHの面積を計算します。

三角形BDHは正三角形であり、一辺の長さは$\sqrt{2}$です。

したがって、三角形BDHの面積は、

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

となります。

三角錐P-BDHの体積を計算します。

点Pから平面BDHに下ろした垂線の足をIとします。

このとき、PIの長さは、点Pから平面EFGHまでの距離に等しく、EFGHとBDHは平行なのでPI=1。

ここで体積を求めます。

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{3}\sqrt{3} = \frac{2}{9}$

三角形DHPの面積は

三角形DFHの面積 - 三角形PGHの面積 -三角形DEPの面積　で求められます。

三角形DFHの面積は $\frac{1}{2}$ です。

三角形PGHの面積は　$\frac{1}{2}*\frac{1}{3} * 1 = \frac{1}{6}$です。

四面体BDHP = 立方体の体積 - （四面体ABDH ＋四面体BCPH +四面体FGDH + 四面体HEPG）

立方体の体積は1です。

四面体ABDH = 1/3×1/2×1 = 1/6

四面体BCPH = 1/3×1/2×2/3 = 1/9

四面体FGDH = 1/3×1/2×1 = 1/6

四面体HEPG = 1/3×1/2×1/3 = 1/18

四面体BDHP = 1 - (1/6 +1/9 + 1/6 + 1/18) = 1- (3/18 + 2/18 +3/18 +1/18) = 1 - 9/18 = 1- 1/2 = 1/2 - (2/9)

四面体の体積 = 1/6

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$