座標平面上の原点Oと異なる2点A, Bを考える。線分ABを$p:1-p$ ($0<p<1$)に内分する点をCとする。ベクトル$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$とおく。 (1) ベクトル$\overrightarrow{OC}$を$p$, $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}$であるとき、$p = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2}$が成り立つことを示せ。 (3) 2点A, Bの座標をそれぞれ$(t, 0)$, $(1, 3)$とし、$p = \frac{1}{3}$とする。さらに、$\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}$となるとき、$t$の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の原点Oと異なる2点A, Bを考える。線分ABを$p:1-p$ ($0<p<1$)に内分する点をCとする。ベクトル$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$とおく。

(1) ベクトル$\overrightarrow{OC}$を$p$, $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}$であるとき、$p = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2}$が成り立つことを示せ。

(3) 2点A, Bの座標をそれぞれ$(t, 0)$, $(1, 3)$とし、$p = \frac{1}{3}$とする。さらに、$\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}$となるとき、$t$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは線分ABを$p:1-p$に内分するので、

$\overrightarrow{OC} = (1-p)\overrightarrow{OA} + p\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OC} = (1-p)\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b}$

(2) $\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}$より、$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$\overrightarrow{OC} = (1-p)\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$なので、

$((1-p)\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = 0$

$(1-p)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - (1-p)|\overrightarrow{a}|^2 + p|\overrightarrow{b}|^2 - p\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - p\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{a}|^2 + p|\overrightarrow{a}|^2 + p|\overrightarrow{b}|^2 - p\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$

$p(|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

$p|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

$p = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2}$

(3) A$(t, 0)$, B$(1, 3)$なので、$\overrightarrow{a} = (t, 0)$, $\overrightarrow{b} = (1, 3)$

$|\overrightarrow{a}|^2 = t^2$, $|\overrightarrow{b}|^2 = 1^2 + 3^2 = 10$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = t \cdot 1 + 0 \cdot 3 = t$

$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = (t-1)^2 + (0-3)^2 = (t-1)^2 + 9 = t^2 - 2t + 1 + 9 = t^2 - 2t + 10$

$p = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2} = \frac{t^2 - t}{t^2 - 2t + 10}$

$p = \frac{1}{3}$なので、$\frac{t^2 - t}{t^2 - 2t + 10} = \frac{1}{3}$

$3(t^2 - t) = t^2 - 2t + 10$

$3t^2 - 3t = t^2 - 2t + 10$

$2t^2 - t - 10 = 0$

$(2t - 5)(t + 2) = 0$

$t = \frac{5}{2}, -2$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OC} = (1-p)\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b}$

(2) $p = \frac{|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2}$

(3) $t = \frac{5}{2}, -2$