座標空間に3点O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(1, -1, 0)がある。正の実数 $r$ に対し、点P(a, b, c)が条件AP = BP = $r$OPを満たしながら動くとする。 (1) $r = 1$ のとき、OPが最小になるような $a, b, c$ を求めよ。 (2) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、内積$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間に3点O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(1, -1, 0)がある。正の実数 $r$ に対し、点P(a, b, c)が条件AP = BP = $r$OPを満たしながら動くとする。

(1) $r = 1$ のとき、OPが最小になるような $a, b, c$ を求めよ。

(2) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、内積$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $r = 1$のとき、AP = BP = OPより、$AP^2 = BP^2 = OP^2$となる。

$AP^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2$

$BP^2 = (a-1)^2 + (b+1)^2 + c^2$

$OP^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$AP^2 = BP^2$ より、 $(a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2 = (a-1)^2 + (b+1)^2 + c^2$

$(b-1)^2 = (b+1)^2$

$b^2 - 2b + 1 = b^2 + 2b + 1$

$-2b = 2b$

$4b = 0$

$b = 0$

$AP^2 = OP^2$ より、$(a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$-2a - 2b + 2 = 0$

$a + b = 1$

$b=0$ より、 $a = 1$

$OP^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 0^2 + c^2 = 1 + c^2$

OPが最小となるのは $c = 0$ のとき。

(2) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、AP = BP = $r$OPより、$AP^2 = BP^2 = r^2 OP^2$

$AP^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2$

$BP^2 = (a-1)^2 + (b+1)^2 + c^2$

$OP^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$AP^2 = BP^2$ より、$b = 0$

$AP^2 = r^2 OP^2$ より、$(a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 (a^2 + b^2 + c^2)$

$(a-1)^2 + 1 + c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + c^2)$

$a^2 - 2a + 1 + 1 + c^2 = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}c^2$

$\frac{1}{4}a^2 - 2a + 2 + \frac{1}{4}c^2 = 0$

$a^2 - 8a + 8 + c^2 = 0$

$(a-4)^2 + c^2 = 8$

$c^2 = 8 - (a-4)^2 \geq 0$

$(a-4)^2 \leq 8$

$-\sqrt{8} \leq a - 4 \leq \sqrt{8}$

$4 - 2\sqrt{2} \leq a \leq 4 + 2\sqrt{2}$

(3) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = (a, b, c) \cdot (a-1, b-1, c) = a(a-1) + b(b-1) + c^2$

$b=0$ より、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = a(a-1) + c^2 = a^2 - a + c^2$

$(a-4)^2 + c^2 = 8$ より、$c^2 = 8 - (a-4)^2 = 8 - (a^2 - 8a + 16) = -a^2 + 8a - 8$

$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = a^2 - a - a^2 + 8a - 8 = 7a - 8$

$4 - 2\sqrt{2} \leq a \leq 4 + 2\sqrt{2}$

$7(4 - 2\sqrt{2}) - 8 \leq 7a - 8 \leq 7(4 + 2\sqrt{2}) - 8$

$28 - 14\sqrt{2} - 8 \leq 7a - 8 \leq 28 + 14\sqrt{2} - 8$

$20 - 14\sqrt{2} \leq 7a - 8 \leq 20 + 14\sqrt{2}$

最大値は$20 + 14\sqrt{2}$、最小値は$20 - 14\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $a=1, b=0, c=0$

(2) $4 - 2\sqrt{2} \leq a \leq 4 + 2\sqrt{2}$

(3) 最大値: $20 + 14\sqrt{2}$, 最小値: $20 - 14\sqrt{2}$