長方形ABCDの面積を、(1)と(2)のそれぞれについて求める問題です。 (1)では、点Aの座標が(2, 0)で、直線 $y = 2x$ と $y = -3x + 16$ が与えられています。 (2)では、点Aの座標が(t, 0)で、直線 $y = 2x$ と $y = -3x + 10$ が与えられています。

1. 問題の内容

長方形ABCDの面積を、(1)と(2)のそれぞれについて求める問題です。

(1)では、点Aの座標が(2, 0)で、直線 $y = 2x$ と $y = -3x + 16$ が与えられています。

(2)では、点Aの座標が(t, 0)で、直線 $y = 2x$ と $y = -3x + 10$ が与えられています。

2. 解き方の手順

(1)

1. 点Aのx座標が2なので、点Aの座標は(2, 0)です。

2. 直線 $y = -3x + 16$ に $x = 2$ を代入して、点Bのy座標を求めます。

$y = -3(2) + 16 = -6 + 16 = 10$

よって、点Bの座標は(2, 0)を基準に考えると(x, 0)となり、$y = -3x+16 = 0$とすると、$3x = 16$となり、$x = 16/3$となる。

なので点Bは($\frac{16}{3}$, 0)となる。AB間の距離は、$\frac{16}{3} - 2 = \frac{16}{3} - \frac{6}{3} = \frac{10}{3}$です。

3. 点Cは直線 $y = 2x$ 上にあるので、点Bのx座標を $x = \frac{16}{3}$ として代入すると、$y = 2 * \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$ となります。

4. 点Cのy座標は点Bのy座標と点Cのy座標の差を求めることによってCDの長さを求められます。CDの長さは$\frac{32}{3}$となります。

5. 長方形ABCDの面積は、$AB \times CD = \frac{10}{3} \times \frac{32}{3} = \frac{320}{9}$

(2)

1. 点Aのx座標がtなので、点Aの座標は(t, 0)です。

2. 直線 $y = -3x + 10$ に $y = 0$ を代入して、点Bのx座標を求めます。

$0 = -3x + 10$

$3x = 10$

$x = \frac{10}{3}$

よって点Bの座標は($\frac{10}{3}$, 0)となります。

AB間の距離は、$\frac{10}{3} - t$ となります。

3. 点Cは直線 $y = 2x$ 上にあるので、点Bのx座標を $x = \frac{10}{3}$ として代入すると、$y = 2 * \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ となります。

4. 点Cのy座標は点Bのy座標と点Cのy座標の差を求めることによってCDの長さを求められます。CDの長さは$\frac{20}{3}$となります。

5. 長方形ABCDの面積は、$AB \times CD = (\frac{10}{3} - t) \times \frac{20}{3} = \frac{200}{9} - \frac{20t}{3}$

6. Dは直線 $y = 2x$ 上にあるので、点Aのx座標を $x = t$ として代入すると、$y = 2t$ となります。ADの長さは2tです。

7. AD=BCより、$\frac{20}{3} = 2t$なので、$t = \frac{10}{3}$

8. 長方形ABCDの面積は、$AB \times CD = (\frac{10}{3} - \frac{10}{3}) \times \frac{20}{3} = 0$ となりこれはありえない。

CDの長さは点Cのy座標である$\frac{20}{3}$

ADの長さは点Dのy座標である2t

2t = 20/3

t = 10/3

点B($\frac{10}{3}$, 0)

点A(t, 0)

なのでAとBは同じ座標で矛盾が生じる。

y=-3x+10とy=2xの交点

2x = -3x + 10

5x = 10

x=2

y=4

D(t,2t)

C($\frac{10}{3}$,$\frac{20}{3}$)

$\frac{10}{3}$-t = 2t

$\frac{10}{3}$ = 3t

t = $\frac{10}{9}$

($\frac{10}{3}$-t)(2t)

($\frac{10}{3}$-$\frac{10}{9}$)(2 * $\frac{10}{9}$)

($\frac{30}{9}$-$\frac{10}{9}$)($\frac{20}{9}$)

($\frac{20}{9}$)($\frac{20}{9}$)

= $\frac{400}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{320}{9}$

(2) $\frac{400}{81}$