直方体 OABC-DEFG が与えられ、その頂点の座標が O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0), C(0,2,0), D(0,0,3), E(1,0,3), F(1,2,3), G(0,2,3) である。辺 AE 上の点 P と辺 CG 上の点 Q をとり、O, P, F, Q の4点が同一平面上にあるようにする。四角形 OPFQ の面積 S を最小にするような点 P と Q の座標を求め、そのときの S の値を求めよ。

1. 問題の内容

直方体 OABC-DEFG が与えられ、その頂点の座標が O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0), C(0,2,0), D(0,0,3), E(1,0,3), F(1,2,3), G(0,2,3) である。辺 AE 上の点 P と辺 CG 上の点 Q をとり、O, P, F, Q の4点が同一平面上にあるようにする。四角形 OPFQ の面積 S を最小にするような点 P と Q の座標を求め、そのときの S の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 点 P と Q の座標をパラメータ表示する。

点 P は辺 AE 上にあるので、$P = (1, 0, z_P)$ と表せる。ここで、$0 \le z_P \le 3$。

点 Q は辺 CG 上にあるので、$Q = (0, 2, z_Q)$ と表せる。ここで、$0 \le z_Q \le 3$。

ステップ2: O, P, F, Q が同一平面上にある条件を求める。

4点が同一平面上にあるためには、ベクトル $\vec{OP}$, $\vec{OF}$, $\vec{OQ}$ が一次従属である必要がある。つまり、ある実数 $s, t$ が存在して、

$\vec{OQ} = s\vec{OP} + t\vec{OF}$

が成り立つ。それぞれのベクトルは、

$\vec{OP} = (1, 0, z_P)$

$\vec{OF} = (1, 2, 3)$

$\vec{OQ} = (0, 2, z_Q)$

であるから、

$(0, 2, z_Q) = s(1, 0, z_P) + t(1, 2, 3)$

$(0, 2, z_Q) = (s+t, 2t, sz_P + 3t)$

したがって、

$s+t = 0$

$2t = 2$

$z_Q = sz_P + 3t$

これより、$t = 1$、$s = -1$。

$z_Q = -z_P + 3$

$z_P + z_Q = 3$

ステップ3: 四角形 OPFQ の面積 S を求める。

四角形 OPFQ は平行四辺形である。

$\vec{OP} = (1, 0, z_P)$

$\vec{OQ} = (0, 2, z_Q) = (0, 2, 3-z_P)$

$S = |\vec{OP} \times \vec{OQ}|$

$\vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & z_P \\ 0 & 2 & 3-z_P \end{vmatrix} = (-2z_P)\vec{i} - (3-z_P)\vec{j} + 2\vec{k}$

$S = \sqrt{(-2z_P)^2 + (3-z_P)^2 + 2^2} = \sqrt{4z_P^2 + 9 - 6z_P + z_P^2 + 4} = \sqrt{5z_P^2 - 6z_P + 13}$

ステップ4: S を最小にする $z_P$ を求める。

$S^2 = 5z_P^2 - 6z_P + 13$ を最小化する。

$\frac{d(S^2)}{dz_P} = 10z_P - 6 = 0$

$z_P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

このとき、$z_Q = 3 - z_P = 3 - \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$

ステップ5: 最小の面積 S を求める。

$S = \sqrt{5(\frac{3}{5})^2 - 6(\frac{3}{5}) + 13} = \sqrt{5(\frac{9}{25}) - \frac{18}{5} + 13} = \sqrt{\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + \frac{65}{5}} = \sqrt{\frac{56}{5}} = 2\sqrt{\frac{14}{5}} = \frac{2\sqrt{70}}{5}$

3. 最終的な答え

点 P の座標: $(1, 0, \frac{3}{5})$

点 Q の座標: $(0, 2, \frac{12}{5})$

最小の面積 S: $\frac{2\sqrt{70}}{5}$