与えられた三角形の面積 $S$ を求めよ。三角形の一辺の長さは $6$ cm、その両端の角は $60^\circ$ と $45^\circ$ である。

1. 問題の内容

与えられた三角形の面積 $S$ を求めよ。三角形の一辺の長さは $6$ cm、その両端の角は $60^\circ$ と $45^\circ$ である。

2. 解き方の手順

まず、三角形の残りの一つの角を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、残りの角は $180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ である。

次に、正弦定理を使って、他の辺の長さを求める。

$a/sinA = b/sinB = c/sinC$

ここで、$a = 6$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$ とする。

$b/sin(60^\circ) = 6/sin(45^\circ)$ より、$b = 6 \cdot sin(60^\circ) / sin(45^\circ) = 6 \cdot (\sqrt{3}/2) / (\sqrt{2}/2) = 6 \cdot \sqrt{3}/\sqrt{2} = 3\sqrt{6}$

三角形の面積は、$S = (1/2)ab \sin C$ で求めることができる。

ここで、$a=6$、 $b=3\sqrt{6}$、$C=75^\circ$ではなく、$a=6$、$b=3\sqrt{6}$、それらの間の角が$60^\circ$であるので、

$S = (1/2) \times 6 \times 3\sqrt{6} \times \sin(60^\circ) = (1/2) \times 6 \times 3\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{18}/2 = 9 \cdot 3\sqrt{2} / 2 = 27\sqrt{2}/2$

別の方法として、与えられた辺とその両端の角を使って面積を求める公式を使う。

$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$

ここで、$a=6$、$A=75^\circ$、$B=60^\circ$、$C=45^\circ$とする。

$S = \frac{6^2 \sin 60^\circ \sin 45^\circ}{2 \sin 75^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{36 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{18(6-2\sqrt{3})}{4} = \frac{9(6-2\sqrt{3})}{2} = 27 - 9\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$27 - 9\sqrt{3}$ cm$^2$