直線 $l$ 上にない点 $C$ と、直線 $l$ 上の2点 $A, B$ が与えられている。以下の3つの条件を満たす点 $P$ を作図する問題。 * 点 $P$ は、直線 $l$ について点 $C$ と同じ側にある。 * 線分 $PB$ と直線 $l$ は垂直である。 * 三角形 $PAB$ の面積は、三角形 $CAB$ の面積の $\frac{1}{2}$ である。

1. 問題の内容

直線 $l$ 上にない点 $C$ と、直線 $l$ 上の2点 $A, B$ が与えられている。以下の3つの条件を満たす点 $P$ を作図する問題。

* 点 $P$ は、直線 $l$ について点 $C$ と同じ側にある。

* 線分 $PB$ と直線 $l$ は垂直である。

* 三角形 $PAB$ の面積は、三角形 $CAB$ の面積の $\frac{1}{2}$ である。

2. 解き方の手順

* **条件2より、点Pは点Bから直線lに下ろした垂線上にある。**

まずは点Bから直線$l$への垂線を引く。

コンパスで点Bを中心にして適当な半径の円弧を描き、$l$ との交点を2つ作る。

その2つの交点をそれぞれ中心として、互いに交わるように円弧を描き、その交点と点Bを結ぶと、$l$の垂線となる。

* **条件1より、点Pは点Cと同じ側にある。**

点$C$と線分$PB$は直線$l$に対して同じ側にあることを確認する。

* **条件3より、$\triangle PAB$の面積は$\triangle CAB$の面積の$\frac{1}{2}$である。**

$\triangle PAB$と$\triangle CAB$は底辺$AB$を共有しているため、高さの比が面積の比になる。

つまり、点$P$から直線$AB$（直線$l$）への距離は、点$C$から直線$AB$（直線$l$）への距離の$\frac{1}{2}$となる必要がある。

まず、点$C$から直線$l$への距離を測ることは難しいので、以下の手順で、$\triangle CAB$の高さを半分にする点$P$を作図する。

1. 線分$BC$の中点を求める。線分$BC$の中点は、線分$BC$の垂直二等分線を引くことによって求められる。

2. 線分$BC$の中点を$M$とする。

3. 直線$AM$と、点$B$から引いた垂線との交点が点$P$となる。

$\triangle ABM$の面積は$\triangle AMC$の面積に等しく、$\triangle ABC$の面積の半分である。よって、$\triangle PAB$の面積も$\triangle CAB$の面積の半分になる。

3. 最終的な答え

上記の手順で作図した点 $P$ が、求める点である。