ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求めます。

## (1) 次の二つのベクトルが平行になるときのxの値を求めよ。

### ① $\vec{a} = (6,8), \vec{b} = (-3,x)$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、$\vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在します。

よって、

$(-3, x) = k(6, 8)$

$-3 = 6k$ より $k = -\frac{1}{2}$

したがって、$x = 8k = 8 \times (-\frac{1}{2}) = -4$

3. 最終的な答え

$x = -4$

### ② $\vec{a} = (-1,-4), \vec{b} = (x, 12)$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、$\vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在します。

よって、

$(x, 12) = k(-1, -4)$

$12 = -4k$ より $k = -3$

したがって、$x = -k = -(-3) = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$

### ③ $\vec{a} = (5,x), \vec{b} = (2x, 10)$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、$\vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在します。

よって、

$(2x, 10) = k(5, x)$

$2x = 5k$

$10 = xk$

この2つの式から $k$ を消去します。$k = \frac{2x}{5}$ を $10 = xk$ に代入すると、

$10 = x(\frac{2x}{5})$

$50 = 2x^2$

$x^2 = 25$

$x = \pm 5$

3. 最終的な答え

$x = 5, -5$

## (2) 二つの単位ベクトル $\vec{a} = (1,0), \vec{b} = (0,1)$ に対し、$3\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - p\vec{b}$ が平行になるとき、$p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$3\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - p\vec{b}$ が平行になるような $p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$3\vec{a} + \vec{b} = 3(1,0) + (0,1) = (3,1)$

$\vec{a} - p\vec{b} = (1,0) - p(0,1) = (1, -p)$

$3\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - p\vec{b}$ が平行であるとき、$(1, -p) = k(3,1)$ となる実数 $k$ が存在します。

よって、

$1 = 3k$ より $k = \frac{1}{3}$

$-p = k$ より $-p = \frac{1}{3}$

したがって、$p = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$p = -\frac{1}{3}$

## (3) 四つの点 A(-1,3), B(2,1), C(11,b), D(a,1) がある。四角形 ABCD が平行四辺形であるとき、$a, b$ の値を求めよ。また、辺 AB, 辺 AD の長さおよび2本の対角線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

四角形 ABCD が平行四辺形となるような $a, b$ の値を求め、辺 AB, 辺 AD の長さおよび対角線 AC, BD の長さを求めます。

2. 解き方の手順

四角形 ABCD が平行四辺形であるとき、$\vec{AB} = \vec{DC}$ が成り立ちます。

$\vec{AB} = (2 - (-1), 1 - 3) = (3, -2)$

$\vec{DC} = (11 - a, b - 1)$

よって、

$3 = 11 - a$ より $a = 8$

$-2 = b - 1$ より $b = -1$

したがって、$A(-1, 3), B(2, 1), C(11, -1), D(8, 1)$

辺 AB の長さ $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

$\vec{AD} = (8 - (-1), 1 - 3) = (9, -2)$

辺 AD の長さ $|\vec{AD}| = \sqrt{9^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$

$\vec{AC} = (11 - (-1), -1 - 3) = (12, -4)$

対角線 AC の長さ $|\vec{AC}| = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$

$\vec{BD} = (8 - 2, 1 - 1) = (6, 0)$

対角線 BD の長さ $|\vec{BD}| = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

$a = 8, b = -1$

辺 AB の長さ: $\sqrt{13}$

辺 AD の長さ: $\sqrt{85}$

対角線 AC の長さ: $4\sqrt{10}$

対角線 BD の長さ: $6$