三角形ABCにおいて、AB=3, BC=5, CA=7である。三角形ABCの外接円をOとする。点Aを通り辺BCに平行な直線と円Oとの交点のうち、AでないものをDとする。 (1) $\cos \angle ABC$を求める。 (2) $\cos \angle ADC$を求める。 (3) 円Oの半径を求める。線分CDの長さを求める。点Bから直線ADに下ろした垂線の長さを求める。 (4) 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=3, BC=5, CA=7である。三角形ABCの外接円をOとする。点Aを通り辺BCに平行な直線と円Oとの交点のうち、AでないものをDとする。

(1) $\cos \angle ABC$を求める。

(2) $\cos \angle ADC$を求める。

(3) 円Oの半径を求める。線分CDの長さを求める。点Bから直線ADに下ろした垂線の長さを求める。

(4) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

(2) 四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$である。

したがって、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$より、

$\cos \angle ADC = \cos(180^\circ - \angle ABC) = -\cos \angle ABC = - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

(3) 正弦定理より、$\frac{CA}{\sin \angle ABC} = 2R$である。ここで、$R$は外接円の半径である。

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$より、$\sin^2 \angle ABC = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$である。

$\angle ABC$は三角形の内角なので、$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{2}$である。

したがって、$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$より、$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$である。

ADはBCに平行なので、弧AC = 弧DBであり、CD = AB = 3である。

AD//BCより、$\angle CAD = \angle ACB$である。

余弦定理より、$\cos \angle ACB = \frac{CA^2+BC^2-AB^2}{2CA \cdot BC} = \frac{7^2+5^2-3^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49+25-9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$

$\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1$より、$\sin \angle ACB = \sqrt{1 - (\frac{13}{14})^2} = \sqrt{\frac{196-169}{196}} = \sqrt{\frac{27}{196}} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

線分CDの長さを3とおく。

$\angle ADB = \angle ACB$、AB = CD = 3

$\sin \angle ADB = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$

$\triangle ABD$の面積は $S = \frac{1}{2} AD \cdot AB \sin \angle DAB$、BからADに下ろした垂線の長さ $h$とすると $S= \frac{1}{2}AD \cdot h$

$\angle ADB = \angle ACB$、AB = CD = 3

(4) 四角形ABCDの面積を求める。四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ACDの面積の和で求められる。三角形ACDの面積は、三角形ABDの面積に等しい。

三角形ABCの面積は、ヘロンの公式より、$s = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} (\frac{15}{2}-3) (\frac{15}{2}-5) (\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

三角形ACDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin \angle ACD$で求められる。

$\angle ADC = 1/2$より、$\sin \angle ADC= \sqrt{3}/2$であり、AC = 7、CD = 3である。$\angle CAD=\angle ACB$

$\angle ADB= \angle ACB$。

三角形ACD = 三角形ABD

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = \frac{1}{2} * AB *h$

台形ABCD=三角形ABC+三角形ACD= 39$\sqrt{3}$/4

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$, 3, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{39\sqrt{3}}{4}$