三角形 OAB に関する問題で、条件 (1) AB = 2OA と条件 (2) ∠AOB = $\frac{\pi}{3}$ を満たすとする。このとき、点 B が複素数平面上でどのような図形を描くか、また、z = x + yi (x, y は実数) の形で表したときの x, y の条件を求め、最後に z の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形 OAB に関する問題で、条件 (1) AB = 2OA と条件 (2) ∠AOB = $\frac{\pi}{3}$ を満たすとする。このとき、点 B が複素数平面上でどのような図形を描くか、また、z = x + yi (x, y は実数) の形で表したときの x, y の条件を求め、最後に z の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

- AB = 2OA より、$\vec{OB} - \vec{OA} = 2\vec{OA}$ 。これを複素数で表すと、b - a = 2a となるので、b = 3a。よって、$\frac{b}{a} = 3$。したがって、カ = 3、キ = 3。

- $\left| \frac{b}{a} \right| = 3$ であるから、点 B は、点クを中心とする半径ケの円周上にあることがわかる。ここでは、原点Oが中心で半径3の円周上にある。よって、クは原点0、ケは3。

- B = $r e^{i\alpha}$ とおく (r > 0)とすると、(条件2)より、$z=r(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$であるから、$z = r(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ と表される。よって、コサ = 1, シ = 2, セ = $\sqrt{3}$, ソ = 2。

- z = x + yi (x, y は実数) と表すと、$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ (x < 0)が成り立つ。

- $\left|z\right| = 3$ なので、$r=3$。よって、$z = 3(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

x = $\frac{3}{2}$で、$x \le 0$を満たさないので条件を満たさない。

したがって、$z = x + \sqrt{3}x i$, $\sqrt{x^2+3x^2}=3$、$4x^2=9$, $x=-\frac{3}{2}$

$z=-\frac{3}{2} + \sqrt{3}\cdot (-\frac{3}{2}) i$

$z=-\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} i$

よって、ターチツ = -3、ナニ = 2、ヌ = 3。

3. 最終的な答え

カ = 3

キ = 3

ク = 0

ケ = 3

コサ = 1

シ = 2

セ = $\sqrt{3}$

ソ = 2

ス = $\sqrt{3}x$

ターチツ = -3

ナニ = 2

ヌ = 3