与えられた三角関数の問題と三角形の形状に関する問題に答えます。具体的には、(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のときの $\theta$ の値を求める問題、(2) $2\cos \theta + 1 = 0$ のときの $\theta$ の値を求める問題、(3) $\tan \theta = -2$ のときの $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題、(4) $\cos 115^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す問題、(5) $a=4, b=5, c=7$ の三角形ABCの形状を判定する問題、が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題と三角形の形状に関する問題に答えます。具体的には、(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のときの $\theta$ の値を求める問題、(2) $2\cos \theta + 1 = 0$ のときの $\theta$ の値を求める問題、(3) $\tan \theta = -2$ のときの $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題、(4) $\cos 115^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す問題、(5) $a=4, b=5, c=7$ の三角形ABCの形状を判定する問題、が含まれています。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で探します。$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta$ であるので、$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ も満たします。

(2) $2\cos \theta + 1 = 0$ より、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となります。$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ なので、$\theta = 120^\circ$ です。

(3) $\tan \theta = -2$ のとき、$\theta$ は第2象限の角です。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -2$ なので、$\sin \theta = -2 \cos \theta$ です。また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、$(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$ となり、$5 \cos^2 \theta = 1$、$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$ となります。$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ であり、$\theta$ が第2象限の角なので、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ です。すると、$\sin \theta = -2 \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。したがって、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \sqrt{\frac{4}{5}}$、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} = -\sqrt{\frac{1}{5}}$

(4) $\cos 115^\circ = \cos (90^\circ + 25^\circ) = -\sin 25^\circ$ なので、$9$ には $25$、$10$ には $^\circ$ が入ります。

(5) 三角形の形状は余弦定理を用いて判定します。$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ より、$7^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos C$ となります。$49 = 16 + 25 - 40 \cos C$ より、$49 = 41 - 40 \cos C$ なので、$8 = -40 \cos C$、$\cos C = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5}$ となります。$\cos C < 0$ なので、$C$ は鈍角であり、三角形ABCは鈍角三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$ (選択肢の9)

(2) $\theta = 120^\circ$ (選択肢の4)

(3) $\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{5}}$, $\cos \theta = -\sqrt{\frac{1}{5}}$

したがって、3には4, 5には1, 6には5, 7には5が入ります。

(4) $\cos 115^\circ = -\sin 25^\circ$

したがって、9には25, 10には°が入ります。

(5) 鈍角三角形

したがって、11には3が入ります。