三角形ABCにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとする。BH = 5, CH = 3, 三角形ABCの面積は24である。 (1) 線分AHの長さを求めよ。 (2) sin C を求めよ。 (3) sin A を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとする。BH = 5, CH = 3, 三角形ABCの面積は24である。

(1) 線分AHの長さを求めよ。

(2) sin C を求めよ。

(3) sin A を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AHの長さを求める。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times AH$で表される。

$BC = BH + CH = 5 + 3 = 8$であるから、

$\frac{1}{2} \times 8 \times AH = 24$

$4AH = 24$

$AH = 6$

(2) sin C を求める。

三角形AHCは直角三角形であるから、$AH = 6, CH = 3$

$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$\sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) sin A を求める。

三角形ABHは直角三角形であるから、$AH = 6, BH = 5$

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$

三角形ABCの面積を求める別方法は、$\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A$で表される。

$\frac{1}{2} \times \sqrt{61} \times 3\sqrt{5} \times \sin A = 24$

$\sin A = \frac{48}{3\sqrt{305}} = \frac{16}{\sqrt{305}} = \frac{16\sqrt{305}}{305}$

3. 最終的な答え

(1) 線分AHの長さ: 6

(2) sin C: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) sin A: $\frac{16\sqrt{305}}{305}$