$f$ と $g$ をそれぞれ平面ベクトルを $x$ 軸、直線 $y=x$ で折り返す平面上の1次変換とする。 (1) ベクトル $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求める。 (2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

1. 問題の内容

$f$ と $g$ をそれぞれ平面ベクトルを $x$ 軸、直線 $y=x$ で折り返す平面上の1次変換とする。

(1) ベクトル $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求める。

(2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f$ は $x$ 軸に関する折り返しなので、$f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ となる。したがって、

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f(\vec{e_2}) = f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}

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$g$ は $y=x$ に関する折り返しなので、$g\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ となる。したがって、

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g(\vec{e_2}) = g\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

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(2)

1次変換 $f$ を表す行列を $F$, 1次変換 $g$ を表す行列を $G$ とすると、

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F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

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G = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

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$f \circ g$ を表す行列は $F \cdot G$ であり、

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F \cdot G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

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3. 最終的な答え

(1) $f(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $g(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$