(13) 点(2, 3, -4)を通り、平面 $2x - 2y + 4z + 1 = 0$ に平行な平面の方程式を求める。 (14) 2点(0, -2, 5), (2, 1, 4)を通り、平面 $2x - 2y + 4z + 1 = 0$ に垂直な平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(13) 点(2, 3, -4)を通り、平面 $2x - 2y + 4z + 1 = 0$ に平行な平面の方程式を求める。

(14) 2点(0, -2, 5), (2, 1, 4)を通り、平面 $2x - 2y + 4z + 1 = 0$ に垂直な平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(13)

平面 $2x - 2y + 4z + 1 = 0$ に平行な平面の方程式は、$2x - 2y + 4z + d = 0$ と表せる。

この平面が点(2, 3, -4)を通るので、

$2(2) - 2(3) + 4(-4) + d = 0$

$4 - 6 - 16 + d = 0$

$-18 + d = 0$

$d = 18$

したがって、求める平面の方程式は $2x - 2y + 4z + 18 = 0$

これを2で割って簡単化すると $x - y + 2z + 9 = 0$

(14)

2点(0, -2, 5), (2, 1, 4)を通る平面の方程式を求める。この平面を $ax + by + cz + d = 0$ とする。

点(0, -2, 5)を通るので、

$a(0) + b(-2) + c(5) + d = 0$

$-2b + 5c + d = 0$

点(2, 1, 4)を通るので、

$a(2) + b(1) + c(4) + d = 0$

$2a + b + 4c + d = 0$

さらに、平面 $ax + by + cz + d = 0$ が平面 $2x - 2y + 4z + 1 = 0$ に垂直なので、2つの平面の法線ベクトルの内積は0になる。

$2a - 2b + 4c = 0$

$a - b + 2c = 0$

$a = b - 2c$

これを$2a + b + 4c + d = 0$に代入すると

$2(b - 2c) + b + 4c + d = 0$

$2b - 4c + b + 4c + d = 0$

$3b + d = 0$

$d = -3b$

$-2b + 5c + d = 0$に代入すると

$-2b + 5c - 3b = 0$

$-5b + 5c = 0$

$b = c$

$a = b - 2c = c - 2c = -c$

$d = -3b = -3c$

$ax + by + cz + d = 0$に代入すると

$-cx + cy + cz - 3c = 0$

$-x + y + z - 3 = 0$

$x - y - z + 3 = 0$

3. 最終的な答え

(13) $x - y + 2z + 9 = 0$

(14) $x - y - z + 3 = 0$