$\theta$ が鈍角で、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\theta$ が鈍角で、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用して、$\sin \theta$ の値を求めます。

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。

$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ です。この範囲では $\sin \theta > 0$ なので、

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times (-3) = -2\sqrt{2}$

問題文で $\cos \theta$ の値は与えられているので、改めて書く必要はありません。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$