1辺の長さが1の正方形 $S_1$ があり、$S_1$ に内接する円を $C_1$ とする。以下同様に、正方形 $S_n$ に内接する円を $C_n$ とし、円 $C_n$ に内接する正方形を $S_{n+1}$ とする。 (1) 正方形 $S_n$ の1辺の長さを $l_n$ とするとき、円 $C_n$ の半径を $l_n$ で表せ。 (2) 数列 $\{l_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) 正方形 $S_n$ の内部から円 $C_n$ の内部を除いた部分の面積を $a_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

1辺の長さが1の正方形 $S_1$ があり、$S_1$ に内接する円を $C_1$ とする。以下同様に、正方形 $S_n$ に内接する円を $C_n$ とし、円 $C_n$ に内接する正方形を $S_{n+1}$ とする。

(1) 正方形 $S_n$ の1辺の長さを $l_n$ とするとき、円 $C_n$ の半径を $l_n$ で表せ。

(2) 数列 $\{l_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 正方形 $S_n$ の内部から円 $C_n$ の内部を除いた部分の面積を $a_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_n$ は正方形 $S_n$ に内接しているので、円 $C_n$ の直径は正方形 $S_n$ の1辺の長さに等しい。したがって、円 $C_n$ の半径は正方形 $S_n$ の1辺の長さの半分である。

よって、円 $C_n$ の半径は $\frac{l_n}{2}$ である。

(2) 正方形 $S_{n+1}$ は円 $C_n$ に内接しているので、正方形 $S_{n+1}$ の対角線の長さは円 $C_n$ の直径に等しい。

正方形 $S_{n+1}$ の1辺の長さは $l_{n+1}$ なので、対角線の長さは $\sqrt{2}l_{n+1}$ である。

円 $C_n$ の直径は $l_n$ なので、$\sqrt{2}l_{n+1} = l_n$ が成り立つ。

したがって、$l_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}l_n$ となる。

これは数列 $\{l_n\}$ が公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列であることを示している。

$l_1 = 1$ なので、$l_n = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$ である。

(3) $a_n$ は正方形 $S_n$ の面積から円 $C_n$ の面積を引いたものである。

正方形 $S_n$ の面積は $l_n^2 = ((\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1})^2 = (\frac{1}{2})^{n-1}$ である。

円 $C_n$ の半径は $\frac{l_n}{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1}$ なので、円 $C_n$ の面積は $\pi (\frac{l_n}{2})^2 = \pi (\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1})^2 = \frac{\pi}{4} (\frac{1}{2})^{n-1}$ である。

したがって、$a_n = l_n^2 - \pi (\frac{l_n}{2})^2 = (\frac{1}{2})^{n-1} - \frac{\pi}{4} (\frac{1}{2})^{n-1} = (1-\frac{\pi}{4}) (\frac{1}{2})^{n-1}$ となる。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (1-\frac{\pi}{4}) (\frac{1}{2})^{n-1} = (1-\frac{\pi}{4}) \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n-1}$ である。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n-1}$ は初項1、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の和なので、$\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$ である。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = (1-\frac{\pi}{4}) \cdot 2 = 2 - \frac{\pi}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{l_n}{2}$

(2) $l_n = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$

(3) $2 - \frac{\pi}{2}$