座標空間に、原点を中心とする半径2の球面Sと、2つの底面がそれぞれ原点を中心とするxy平面上の半径2の円板と、点(0,0,5)を中心とする平面z=5上の半径2の円板である円柱Tがある。 (1) 点A(0,0,1)に対し、点P(x, y, z)が球面S上を $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ を満たしながら動くとき、x, yが満たす関係式を求めよ。 (2) 点B(0, 1, 1)に対し、点C(0, 2, 0)を通り $\overrightarrow{OB}$ に垂直な平面を$\alpha$とする。平面$\alpha$による円柱Tの側面の切り口を曲線Eとする。曲線E上を点Q(x, y, z)が動くとき、ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の大きさ $|\overrightarrow{OQ}|$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間に、原点を中心とする半径2の球面Sと、2つの底面がそれぞれ原点を中心とするxy平面上の半径2の円板と、点(0,0,5)を中心とする平面z=5上の半径2の円板である円柱Tがある。

(1) 点A(0,0,1)に対し、点P(x, y, z)が球面S上を $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ を満たしながら動くとき、x, yが満たす関係式を求めよ。

(2) 点B(0, 1, 1)に対し、点C(0, 2, 0)を通り $\overrightarrow{OB}$ に垂直な平面を$\alpha$とする。平面$\alpha$による円柱Tの側面の切り口を曲線Eとする。曲線E上を点Q(x, y, z)が動くとき、ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の大きさ $|\overrightarrow{OQ}|$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点A(0,0,1)と点P(x,y,z)について、$\overrightarrow{AP} = (x, y, z-1)$、$\overrightarrow{OA} = (0, 0, 1)$である。したがって、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ より、

$x \cdot 0 + y \cdot 0 + (z-1) \cdot 1 = 0$

$z - 1 = 0$

$z = 1$

点Pは球面S上にあるので、$x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 = 4$を満たす。$z = 1$を代入すると、

$x^2 + y^2 + 1^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 3$

(2)

$\overrightarrow{OB} = (0, 1, 1)$である。平面$\alpha$は点C(0, 2, 0)を通り、ベクトル$\overrightarrow{OB}$に垂直なので、平面$\alpha$の方程式は、

$0(x - 0) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$

$y - 2 + z = 0$

$y + z = 2$

円柱Tの側面は、$x^2 + y^2 = 4$かつ$0 \le z \le 5$で表される。曲線E上の点Q(x, y, z)は、$x^2 + y^2 = 4$かつ$y + z = 2$を満たす。よって、$y = 2 - z$を$x^2 + y^2 = 4$に代入すると、

$x^2 + (2 - z)^2 = 4$

$x^2 + 4 - 4z + z^2 = 4$

$x^2 + z^2 - 4z = 0$

$x^2 = 4z - z^2$

$|\overrightarrow{OQ}|^2 = x^2 + y^2 + z^2$

$= (4z - z^2) + (2 - z)^2 + z^2$

$= 4z - z^2 + 4 - 4z + z^2 + z^2$

$= z^2 + 4$

$0 \le z \le 5$より、zの範囲は$0 \le z \le 2$ (なぜならば、$x^2=4z-z^2\ge 0$より、$z(4-z)\ge 0$から$0\le z\le 4$。また、$y=2-z$で、$x^2+y^2=4$かつ$x^2+y^2=4$より、この範囲と$0 \le z \le 5$の共通範囲である$0\le z\le 4$がzの範囲となるから。$y=2-z$なので、$x^2+(2-z)^2=4$より、$x^2+4-4z+z^2=4$となり、$x^2=4z-z^2$を得る。$x^2 \ge 0$なので、$4z-z^2\ge 0$より$z(4-z)\ge 0$となるので、$0\le z \le 4$になる。さらに、$x^2+y^2=4$より$y^2 \le 4$となり、$-2\le y \le 2$となるので、$y=2-z$から$-2\le 2-z\le 2$となり、$-4\le -z \le 0$より、$0\le z \le 4$になる。よって、zの範囲は、$0\le z\le 4$となる。)

$|\overrightarrow{OQ}|^2 = z^2 + 4$ より、$z = 0$のとき $|\overrightarrow{OQ}|^2$ は最小値4をとり、$z = 2$のとき $|\overrightarrow{OQ}|^2$ は最大値8をとる。

したがって、$|\overrightarrow{OQ}|$ の最小値は $\sqrt{4} = 2$、$|\overrightarrow{OQ}|$ の最大値は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 3$

(2) 最大値：$2\sqrt{2}$, 最小値：2